花火職人の福田先生が打ち上げる花火の軌道について、以下の情報を基に、放物線の式を求める問題です。 * 花火は川岸から2mの高台から打ち上げられる。 * 放物線の頂点は高さ50mである。 * 川岸から4m離れた地点で花火が破裂する（高さ0m）。 以下の小問に答える必要があります。 * 問1：置かれている状況を絵に描く。 * 問2：求める放物線の頂点、軸、形状（上に凸か下に凸）を答える。 * 問3：求める放物線を $y = a(x-p)^2 + q$ と表す。 * 問2と問3の情報を使って放物線の式を求める。

1. 問題の内容

花火職人の福田先生が打ち上げる花火の軌道について、以下の情報を基に、放物線の式を求める問題です。

* 花火は川岸から2mの高台から打ち上げられる。

* 放物線の頂点は高さ50mである。

* 川岸から4m離れた地点で花火が破裂する（高さ0m）。

以下の小問に答える必要があります。

* 問1：置かれている状況を絵に描く。

* 問2：求める放物線の頂点、軸、形状（上に凸か下に凸）を答える。

* 問3：求める放物線を $y = a(x-p)^2 + q$ と表す。

* 問2と問3の情報を使って放物線の式を求める。

2. 解き方の手順

問1：絵を描く（省略）

問2：

* 頂点：問題文より、頂点の高さは50m。川岸から水平方向にどれだけ離れているかは不明なので、頂点の座標は $(p, 50)$ と表せる。

* 軸：放物線の軸は頂点を通る鉛直線なので、$x = p$。

* 形状：花火が打ち上げられて破裂するので、放物線は上に凸。

問3：

問題文で与えられている通り、$y = a(x-p)^2 + q$ と表せる。

ここで、頂点の$y$座標が50mなので、$q=50$。よって、$y = a(x-p)^2 + 50$。

放物線の式を求める：

* 花火は川岸から2mの高台から打ち上げられるので、座標 $(0, 2)$ を通る。

* 川岸から4m離れた地点で花火が破裂するので、座標 $(4, 0)$ を通る。

$(0, 2)$ を $y = a(x-p)^2 + 50$ に代入すると、

$2 = a(0-p)^2 + 50$

$2 = ap^2 + 50$

$ap^2 = -48$ (1)

$(4, 0)$ を $y = a(x-p)^2 + 50$ に代入すると、

$0 = a(4-p)^2 + 50$

$a(4-p)^2 = -50$

$a(16 - 8p + p^2) = -50$

$16a - 8ap + ap^2 = -50$ (2)

(1)を(2)に代入すると、

$16a - 8ap - 48 = -50$

$16a - 8ap = -2$

$8a - 4ap = -1$

$8a - 4\sqrt{\frac{-48}{a}}*a = -1$

(1)から、$a = -\frac{48}{p^2}$。これを(2)に代入すると、

$-\frac{48}{p^2}*(16 - 8p + p^2) = -50$

$-48(16 - 8p + p^2) = -50p^2$

$-768 + 384p - 48p^2 = -50p^2$

$2p^2 + 384p - 768 = 0$

$p^2 + 192p - 384 = 0$

解の公式より、$p = \frac{-192 \pm \sqrt{192^2 - 4*(-384)}}{2} = \frac{-192 \pm \sqrt{36864+1536}}{2} = \frac{-192 \pm \sqrt{38400}}{2} = \frac{-192 \pm 80\sqrt{6}}{2} = -96 \pm 40\sqrt{6}$

$p>0$なので、$p = -96 + 40\sqrt{6} \approx 2.959$

$a = -\frac{48}{p^2} = -\frac{48}{(-96+40\sqrt{6})^2} = -\frac{48}{(2.959)^2} \approx -\frac{48}{8.755} \approx -5.482$

3. 最終的な答え

$y = -5.482(x - 2.959)^2 + 50$