与えられた数式の総和を計算します。数式は $\sum_{k=1}^{n-1} (4k+7)$ です。

1. 問題の内容

与えられた数式の総和を計算します。数式は $\sum_{k=1}^{n-1} (4k+7)$ です。

2. 解き方の手順

総和の性質を利用して、与えられた式を分解します。

$\sum_{k=1}^{n-1} (4k+7) = \sum_{k=1}^{n-1} 4k + \sum_{k=1}^{n-1} 7$

次に、$\sum_{k=1}^{n-1} k = \frac{(n-1)n}{2}$ と $\sum_{k=1}^{n-1} c = c(n-1)$ (cは定数) を利用します。

$\sum_{k=1}^{n-1} 4k = 4 \sum_{k=1}^{n-1} k = 4 \cdot \frac{(n-1)n}{2} = 2n(n-1)$

$\sum_{k=1}^{n-1} 7 = 7(n-1)$

したがって、

$\sum_{k=1}^{n-1} (4k+7) = 2n(n-1) + 7(n-1) = (2n+7)(n-1) = 2n^2 - 2n + 7n - 7 = 2n^2 + 5n - 7$

3. 最終的な答え

$2n^2 + 5n - 7$