与えられた問題は、総和の計算です。具体的には、$\sum_{k=1}^{n} (k+1)(2k-1)$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた問題は、総和の計算です。具体的には、$\sum_{k=1}^{n} (k+1)(2k-1)$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、総和の中身を展開します。

$(k+1)(2k-1) = 2k^2 - k + 2k - 1 = 2k^2 + k - 1$

したがって、求める総和は

$\sum_{k=1}^{n} (2k^2 + k - 1)$

総和の性質を用いて、各項に分割します。

$\sum_{k=1}^{n} (2k^2 + k - 1) = 2\sum_{k=1}^{n} k^2 + \sum_{k=1}^{n} k - \sum_{k=1}^{n} 1$

ここで、以下の公式を利用します。

$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$

$\sum_{k=1}^{n} 1 = n$

これらの公式を代入すると、

$2\sum_{k=1}^{n} k^2 + \sum_{k=1}^{n} k - \sum_{k=1}^{n} 1 = 2 \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{n(n+1)}{2} - n$

$= \frac{n(n+1)(2n+1)}{3} + \frac{n(n+1)}{2} - n$

共通因数 $n$ でくくると、

$= n \left( \frac{(n+1)(2n+1)}{3} + \frac{n+1}{2} - 1 \right)$

$= n \left( \frac{2(n+1)(2n+1) + 3(n+1) - 6}{6} \right)$

$= n \left( \frac{2(2n^2 + 3n + 1) + 3n + 3 - 6}{6} \right)$

$= n \left( \frac{4n^2 + 6n + 2 + 3n - 3}{6} \right)$

$= n \left( \frac{4n^2 + 9n - 1}{6} \right)$

$= \frac{n(4n^2 + 9n - 1)}{6}$

3. 最終的な答え

$\frac{n(4n^2 + 9n - 1)}{6}$