数列 $1\cdot 2, 2\cdot 4, 3\cdot 6, 4\cdot 8, \dots$ の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ を求めよ。

1. 問題の内容

数列 $1\cdot 2, 2\cdot 4, 3\cdot 6, 4\cdot 8, \dots$ の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ を求めよ。

2. 解き方の手順

この数列の第 $k$ 項を $a_k$ とすると、$a_k = k \cdot (2k) = 2k^2$ と表せる。

したがって、$S_n$ は次のように計算できる。

$S_n = \sum_{k=1}^{n} a_k = \sum_{k=1}^{n} 2k^2 = 2 \sum_{k=1}^{n} k^2$

$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ という公式を使うと、

$S_n = 2 \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{3}$

3. 最終的な答え

$S_n = \frac{n(n+1)(2n+1)}{3}$