数列 $1 \cdot 2, 2 \cdot 4, 3 \cdot 6, 4 \cdot 8, \dots$ の初項から第 $n$ 項までの和を求めます。

1. 問題の内容

数列 $1 \cdot 2, 2 \cdot 4, 3 \cdot 6, 4 \cdot 8, \dots$ の初項から第 $n$ 項までの和を求めます。

2. 解き方の手順

数列の一般項は $a_k = k \cdot 2k = 2k^2$ と表せます。

したがって、初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ は次のようになります。

$S_n = \sum_{k=1}^{n} a_k = \sum_{k=1}^{n} 2k^2 = 2 \sum_{k=1}^{n} k^2$

ここで、$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ であることを利用すると、

$S_n = 2 \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{3}$

3. 最終的な答え

数列の初項から第 $n$ 項までの和は $\frac{n(n+1)(2n+1)}{3}$ です。