与えられた問題は、次の和を計算することです。 $\sum_{k=1}^n r^{k-1}$

1. 問題の内容

与えられた問題は、次の和を計算することです。

$\sum_{k=1}^n r^{k-1}$

2. 解き方の手順

この和は、初項が $1$ ($r^0 = 1$)、公比が $r$ の等比数列の和です。等比数列の和の公式は次の通りです。

$S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r}$

ここで、$S_n$ は最初の $n$ 項の和、$a$ は初項、$r$ は公比、$n$ は項の数です。

この問題では、$a = 1$ なので、

$S_n = \frac{1(1-r^n)}{1-r} = \frac{1-r^n}{1-r}$

3. 最終的な答え

したがって、答えは次のようになります。

$\frac{1-r^n}{1-r}$