$x^2 + ax + 24$ が因数分解できるような整数の $a$ の値は何通りあるか求めます。

1. 問題の内容

$x^2 + ax + 24$ が因数分解できるような整数の $a$ の値は何通りあるか求めます。

2. 解き方の手順

$x^2 + ax + 24$ が因数分解できるということは、整数 $m, n$ が存在して、

$x^2 + ax + 24 = (x + m)(x + n)$

と表せるということです。展開すると、

$x^2 + ax + 24 = x^2 + (m+n)x + mn$

よって、$a = m + n$ かつ $mn = 24$ となります。

$mn = 24$ を満たす整数の組 $(m, n)$ をすべて求めます。

24の約数は、1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 です。

$(m, n)$ の組み合わせは以下の通りです。

(1, 24), (2, 12), (3, 8), (4, 6), (-1, -24), (-2, -12), (-3, -8), (-4, -6)

$(n, m)$の順序を入れ替えたものも考えられますが、$a = m + n = n + m$ なので、$a$ の値は同じになります。

それぞれの $(m, n)$ に対する $a = m + n$ の値は、

$1 + 24 = 25$

$2 + 12 = 14$

$3 + 8 = 11$

$4 + 6 = 10$

$-1 + (-24) = -25$

$-2 + (-12) = -14$

$-3 + (-8) = -11$

$-4 + (-6) = -10$

したがって、$a$ の値は $25, 14, 11, 10, -25, -14, -11, -10$ の8通りです。

3. 最終的な答え

8通り