放物線 $y = x^2 - 4x + 5$ をx軸方向に $a$, y軸方向に $b$ だけ平行移動したところ、$y = x^2 + 6x + 8$ となった。このとき、$a$, $b$ の値の組み合わせを求める。

1. 問題の内容

放物線 $y = x^2 - 4x + 5$ をx軸方向に $a$, y軸方向に $b$ だけ平行移動したところ、$y = x^2 + 6x + 8$ となった。このとき、$a$, $b$ の値の組み合わせを求める。

2. 解き方の手順

まず、$y = x^2 - 4x + 5$ を平方完成する。

$y = (x - 2)^2 - 4 + 5$

$y = (x - 2)^2 + 1$

次に、$y = x^2 + 6x + 8$ を平方完成する。

$y = (x + 3)^2 - 9 + 8$

$y = (x + 3)^2 - 1$

平行移動後の放物線は、$y = (x - (2 - a))^2 + 1 + b$ と表せる。

これが $y = (x + 3)^2 - 1$ と一致するので、

$2 - a = -3$

$1 + b = -1$

上記の2式を解くと

$a = 2 + 3 = 5$

$b = -1 - 1 = -2$

ただし、x軸方向にa, y軸方向にbだけ平行移動したとき、放物線の式は

$y - b = (x - a)^2 - 4(x - a) + 5$

$y = (x - a)^2 - 4(x - a) + 5 + b$

これが、$y = x^2 + 6x + 8$ と一致する。

展開すると、

$y = x^2 - 2ax + a^2 - 4x + 4a + 5 + b$

$y = x^2 + (-2a - 4)x + a^2 + 4a + 5 + b$

係数を比較すると、

$-2a - 4 = 6$

$a^2 + 4a + 5 + b = 8$

$-2a = 10$

$a = -5$

$(-5)^2 + 4(-5) + 5 + b = 8$

$25 - 20 + 5 + b = 8$

$10 + b = 8$

$b = -2$

したがって、$a = -5$, $b = -2$

3. 最終的な答え

$a = -5$, $b = -2$ なので、選択肢2が正しい。