与えられたベクトルの組に対して、以下の問いに答えます。 (i) 1次独立なベクトルの最大個数 $r$ を求めます。 (ii) 前から順に $r$ 個の1次独立なベクトルを求めます。 (iii) 他のベクトルを(ii)で求めたベクトルの1次結合で書き表します。

はい、承知いたしました。画像の問題4.3の(1)と(2)を解きます。

1. 問題の内容

与えられたベクトルの組に対して、以下の問いに答えます。

(i) 1次独立なベクトルの最大個数 $r$ を求めます。

(ii) 前から順に $r$ 個の1次独立なベクトルを求めます。

(iii) 他のベクトルを(ii)で求めたベクトルの1次結合で書き表します。

2. 解き方の手順

**(1)**

与えられたベクトルは、

$a_1 = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 4 \\ 3 \end{bmatrix}, a_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix}, a_3 = \begin{bmatrix} 5 \\ 3 \\ 10 \\ 8 \end{bmatrix}, a_4 = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 2 \end{bmatrix}, a_5 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$

(i) まず、これらのベクトルが1次独立かどうかを調べます。行列式を計算する方法もありますが、ここでは線形結合で表せるかどうかを検討します。

$a_3 = 2a_1 + a_2$ であることがわかります。

$2\begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 4 \\ 3 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4+1 \\ 2+0 \\ 8+2 \\ 6+1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 \\ 2 \\ 10 \\ 7 \end{bmatrix}$

これは $a_3$と等しくありません.

次に、$a_4$を$a_1$と$a_2$の線形結合で表せるか試します。

$a_4 = c_1 a_1 + c_2 a_2$とすると、

$\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 2 \end{bmatrix} = c_1 \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 4 \\ 3 \end{bmatrix} + c_2 \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix}$

連立方程式を解くと、$2c_1 + c_2 = 1$, $c_1 = 1$, $4c_1 + 2c_2 = 1$, $3c_1 + c_2 = 2$

$c_1 = 1$ より、 $c_2 = 1 - 2c_1 = 1 - 2 = -1$.

すると、$4c_1 + 2c_2 = 4 - 2 = 2 \ne 1$なので矛盾が生じる。

よって、$a_4$は$a_1$と$a_2$の線形結合で表せない。

次に、$a_5$を$a_1, a_2, a_4$の線形結合で表せるか試します。

しかし、$a_1, a_2, a_4$は1次独立なので、$a_1, a_2, a_4$を並べた行列のrankは3となり、$\mathbb{R}^4$の基底とはならないので、$a_5$を表すことはできません。

よって、$a_1, a_2, a_4, a_5$は1次独立。

$a_1, a_2, a_3, a_4$について、$a_3 = 2a_1+a_2$ではありませんでしたが、$a_3 = c_1a_1+c_2a_2+c_3a_4$を考えると、$c_3 = 0$であれば、$a_3$は$a_1, a_2$のみで表現できる必要があります。

$a_5$についても同様に考えると、$a_5$は$a_1, a_2, a_4$のみで表現できないことがわかります。

したがって、1次独立なベクトルの最大個数は4となり、$a_1, a_2, a_4, a_5$が1次独立なベクトルです。$r=4$

また、$a_3$を$a_1, a_2, a_4, a_5$で表すことはできません。

(ii) 1次独立なベクトルは、$a_1, a_2, a_4, a_5$

(iii) $a_3$を$a_1, a_2$の線形結合で表すことはできません。

よって、$a_3 = c_1 a_1 + c_2 a_2 + c_3 a_4 + c_4 a_5$を考えます。

$\begin{bmatrix} 5 \\ 3 \\ 10 \\ 8 \end{bmatrix} = c_1 \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 4 \\ 3 \end{bmatrix} + c_2 \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix} + c_3 \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 2 \end{bmatrix} + c_4 \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$

**(2)**

与えられたベクトルは、

$a_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}, a_2 = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}, a_3 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \\ 2 \end{bmatrix}, a_4 = \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \\ 2 \\ 4 \end{bmatrix}, a_5 = \begin{bmatrix} 3 \\ 2 \\ 3 \\ -1 \end{bmatrix}$

(i) $a_1$と$a_2$は明らかに1次独立。

$a_3$を$a_1$と$a_2$の線形結合で表せるか試します。

$a_3 = c_1 a_1 + c_2 a_2$とすると、

$\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \\ 2 \end{bmatrix} = c_1 \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} + c_2 \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$

連立方程式を解くと、$c_1 + 2c_2 = 1$, $c_2 = 0$, $c_1 = -1$, $c_1 + c_2 = 2$

$c_2 = 0$ より、$c_1 = 1$。しかし、$c_1 = -1$と$c_1 = 1$で矛盾が生じる。

よって、$a_3$は$a_1$と$a_2$の線形結合で表せない。

$a_4$を$a_1, a_2, a_3$の線形結合で表せるか試します。

$a_4 = c_1 a_1 + c_2 a_2 + c_3 a_3$とすると、

$\begin{bmatrix} 2 \\ -1 \\ 2 \\ 4 \end{bmatrix} = c_1 \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} + c_2 \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} + c_3 \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \\ 2 \end{bmatrix}$

連立方程式を解くと、$c_1 + 2c_2 + c_3 = 2$, $c_2 = -1$, $c_1 - c_3 = 2$, $c_1 + c_2 + 2c_3 = 4$

$c_2 = -1$ より、$c_1 + c_3 = 4$, $c_1 - c_3 = 2$なので、$2c_1 = 6$より$c_1 = 3$, $c_3 = 1$

したがって、$a_4 = 3a_1 - a_2 + a_3$

$a_5$を$a_1, a_2, a_3$の線形結合で表せるか試します。

$a_5 = c_1 a_1 + c_2 a_2 + c_3 a_3$とすると、

$\begin{bmatrix} 3 \\ 2 \\ 3 \\ -1 \end{bmatrix} = c_1 \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} + c_2 \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} + c_3 \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \\ 2 \end{bmatrix}$

連立方程式を解くと、$c_1 + 2c_2 + c_3 = 3$, $c_2 = 2$, $c_1 - c_3 = 3$, $c_1 + c_2 + 2c_3 = -1$

$c_2 = 2$ より、$c_1 + c_3 = -3$, $c_1 - c_3 = 3$なので、$2c_1 = 0$より$c_1 = 0$, $c_3 = -3$

したがって、$a_5 = 0a_1 + 2a_2 - 3a_3$

したがって、1次独立なベクトルの最大個数は3となり、$a_1, a_2, a_3$が1次独立なベクトルです。$r=3$

(ii) 1次独立なベクトルは、$a_1, a_2, a_3$

(iii) $a_4 = 3a_1 - a_2 + a_3$

$a_5 = 0a_1 + 2a_2 - 3a_3$

3. 最終的な答え

**(1)**

(i) $r=4$

(ii) $a_1, a_2, a_4, a_5$

(iii) $a_3 = c_1 a_1 + c_2 a_2 + c_3 a_4 + c_4 a_5$. $a_3$は$a_1, a_2, a_4, a_5$の線形結合で表せない。

**(2)**

(i) $r=3$

(ii) $a_1, a_2, a_3$

(iii) $a_4 = 3a_1 - a_2 + a_3$, $a_5 = 2a_2 - 3a_3$