この問題は2つの部分から構成されています。 (1) 奇数金額のコインを使って $n$ 円を支払う方法の総数を $OP_n$ と定義するとき、$OP_{11}$ を求めます。 (2) 1から9までの数字が書かれた9枚のカードから4枚を選び、2桁の数を2組作ったとき、その和が93になる組み合わせの数を求めます。

1. 問題の内容

この問題は2つの部分から構成されています。

(1) 奇数金額のコインを使って $n$ 円を支払う方法の総数を $OP_n$ と定義するとき、$OP_{11}$ を求めます。

(2) 1から9までの数字が書かれた9枚のカードから4枚を選び、2桁の数を2組作ったとき、その和が93になる組み合わせの数を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $OP_{11}$ を求める。

11円を奇数金額のコインで支払う組み合わせを考えます。

- 11円玉1枚

- 9円玉1枚、1円玉2枚

- 7円玉1枚、1円玉4枚

- 7円玉1枚、3円玉1枚、1円玉1枚

- 5円玉1枚、1円玉6枚

- 5円玉1枚、3円玉1枚、1円玉3枚

- 5円玉1枚、3円玉2枚

- 5円玉2枚、1円玉1枚

- 3円玉1枚、1円玉8枚

- 3円玉1枚、3円玉1枚、1円玉5枚

- 3円玉1枚、3円玉2枚、1円玉2枚

- 3円玉3枚、1円玉2枚

- 1円玉11枚

したがって、$OP_{11} = 12$ です。

(2) 2桁の数の和が93になる組み合わせを求める。

2つの2桁の数の和が93になる組み合わせを考えます。

1から9までの数字を使うので、十の位の数の組み合わせは、例えば49 + 44など、同じ数字を2回使うことはできません。

可能な組み合わせは次の通りです。

- 45 + 48 = 93

- 46 + 47 = 93

45と48の場合、4, 5, 8を使うので、残りの数字は1, 2, 3, 6, 7, 9です。45と48, 48と45のように順番を入れ替えることができるので、$2 \times 2 = 4$通りの組み合わせがあります。同様に、46と47の場合も$2 \times 2 = 4$通りの組み合わせがあります。

合計で4 + 4 = 8通りです。

3. 最終的な答え

$OP_{11} = 12$

2桁の数の組み合わせとして考えられるのは 8 通りです。