(1) $n$個から$r$個取る組合せの総数 $_nC_r$ を階乗(!)を用いて表す。 (2) $_{n}C_{r} = _{n-1}C_{r-1} + _{n-1}C_{r}$ (ただし $1 \leq r \leq n-1$, $n \geq 2$) が成り立つことを、(1)の結果を用いて説明する。

1. 問題の内容

(1) $n$個から$r$個取る組合せの総数 $_nC_r$ を階乗(!)を用いて表す。

(2) $_{n}C_{r} = _{n-1}C_{r-1} + _{n-1}C_{r}$ (ただし $1 \leq r \leq n-1$, $n \geq 2$) が成り立つことを、(1)の結果を用いて説明する。

2. 解き方の手順

(1) 組み合わせの定義より、$_nC_r$は、$n$個から$r$個を選ぶ組み合わせの数です。これは、順列 $_nP_r$ を$r!$ で割ることで得られます。順列 $_nP_r$ は、$n! / (n-r)!$ と表せます。したがって、$_nC_r = \frac{_nP_r}{r!} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ となります。

(2) $_{n-1}C_{r-1} + _{n-1}C_{r}$を計算し、それが $_{n}C_{r}$と等しくなることを示す。

(1)の結果より、

$_{n-1}C_{r-1} = \frac{(n-1)!}{(r-1)!(n-r)!}$

$_{n-1}C_{r} = \frac{(n-1)!}{r!(n-r-1)!}$

したがって、

$_{n-1}C_{r-1} + _{n-1}C_{r} = \frac{(n-1)!}{(r-1)!(n-r)!} + \frac{(n-1)!}{r!(n-r-1)!}$

共通分母 $r!(n-r)!$ で通分すると、

$_{n-1}C_{r-1} + _{n-1}C_{r} = \frac{r(n-1)!}{r!(n-r)!} + \frac{(n-r)(n-1)!}{r!(n-r)!}$

$= \frac{r(n-1)! + (n-r)(n-1)!}{r!(n-r)!}$

$= \frac{(n-1)!(r + n - r)}{r!(n-r)!}$

$= \frac{(n-1)!n}{r!(n-r)!}$

$= \frac{n!}{r!(n-r)!}$

これは $_{n}C_{r}$ に等しい。

よって、$_{n}C_{r} = _{n-1}C_{r-1} + _{n-1}C_{r}$が成り立つ。

3. 最終的な答え

(1) $_{n}C_{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$

(2) 上記の手順より、$_{n}C_{r} = _{n-1}C_{r-1} + _{n-1}C_{r}$が成り立つ。