7個の数字 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 から異なる4個の数字を使って4桁の整数を作るとき、以下の個数を求める問題です。 (1) 4桁の整数 (2) 4桁の奇数 (3) 4桁の偶数 (4) 4桁の5の倍数

1. 問題の内容

7個の数字 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 から異なる4個の数字を使って4桁の整数を作るとき、以下の個数を求める問題です。

(1) 4桁の整数

(2) 4桁の奇数

(3) 4桁の偶数

(4) 4桁の5の倍数

2. 解き方の手順

(1) 4桁の整数

千の位には0以外の6個の数字が入ります。百の位には残りの6個の数字が入り、十の位には残りの5個の数字が入り、一の位には残りの4個の数字が入ります。

よって、 $6 \times 6 \times 5 \times 4$ で計算します。

(2) 4桁の奇数

一の位が奇数の場合（1,3,5）を考えます。

一の位が奇数の場合、3通りあります。

千の位は0と一の位で使った数字以外の数字が入るので5通りあります。

百の位は千の位と一の位で使った数字以外の数字が入るので5通りあります。

十の位は千の位、百の位、一の位で使った数字以外の数字が入るので4通りあります。

よって、 $5 \times 5 \times 4 \times 3$ で計算します。

(3) 4桁の偶数

全数から奇数を引くことで計算します。

4桁の整数の個数は720個、4桁の奇数の個数は300個なので、

$720 - 300$ で計算します。

(4) 4桁の5の倍数

一の位が0か5の場合を考えます。

(i) 一の位が0の場合

千の位は0以外の6個の数字が入ります。百の位には残りの5個の数字が入り、十の位には残りの4個の数字が入ります。

よって、 $6 \times 5 \times 4 = 120$ 個

(ii) 一の位が5の場合

千の位が0でない場合は5通り、千の位が0の場合は考えないといけない。

千の位が0でないとき、5通り。百の位は残りの5個、十の位は残りの4個なので、

$5 \times 5 \times 4 = 100$ 個

千の位が0のときはない。

合計すると $120+100$ で計算します。

3. 最終的な答え

(1) 720個

(2) 300個

(3) $720 - 300 = 420$個

(4) $120 + 100 = 220$個