与えられた8つの数式を計算して、最も簡単な形で答える問題です。具体的には、根号の計算、足し算、引き算、分配法則、展開などを用いて計算します。

1. 問題の内容

与えられた8つの数式を計算して、最も簡単な形で答える問題です。具体的には、根号の計算、足し算、引き算、分配法則、展開などを用いて計算します。

2. 解き方の手順

(1) $\sqrt{6} \times \sqrt{7} = \sqrt{6 \times 7} = \sqrt{42}$

(2) $\sqrt{45} + \sqrt{5} = \sqrt{9 \times 5} + \sqrt{5} = 3\sqrt{5} + \sqrt{5} = (3+1)\sqrt{5} = 4\sqrt{5}$

(3) $\sqrt{18} + \sqrt{8} = \sqrt{9 \times 2} + \sqrt{4 \times 2} = 3\sqrt{2} + 2\sqrt{2} = (3+2)\sqrt{2} = 5\sqrt{2}$

(4) $\sqrt{45} - \sqrt{80} = \sqrt{9 \times 5} - \sqrt{16 \times 5} = 3\sqrt{5} - 4\sqrt{5} = (3-4)\sqrt{5} = -\sqrt{5}$

(5) $\sqrt{27} - 2\sqrt{3} + \sqrt{75} = \sqrt{9 \times 3} - 2\sqrt{3} + \sqrt{25 \times 3} = 3\sqrt{3} - 2\sqrt{3} + 5\sqrt{3} = (3-2+5)\sqrt{3} = 6\sqrt{3}$

(6) $\sqrt{2}(\sqrt{6} - \sqrt{14}) = \sqrt{2 \times 6} - \sqrt{2 \times 14} = \sqrt{12} - \sqrt{28} = \sqrt{4 \times 3} - \sqrt{4 \times 7} = 2\sqrt{3} - 2\sqrt{7}$

(7) $(2\sqrt{2} + \sqrt{3})^2 = (2\sqrt{2})^2 + 2(2\sqrt{2})(\sqrt{3}) + (\sqrt{3})^2 = 4(2) + 4\sqrt{6} + 3 = 8 + 4\sqrt{6} + 3 = 11 + 4\sqrt{6}$

(8) $(2\sqrt{5} - 3\sqrt{2})(2\sqrt{5} + 3\sqrt{2}) = (2\sqrt{5})^2 - (3\sqrt{2})^2 = 4(5) - 9(2) = 20 - 18 = 2$

3. 最終的な答え

(1) $\sqrt{42}$

(2) $4\sqrt{5}$

(3) $5\sqrt{2}$

(4) $-\sqrt{5}$

(5) $6\sqrt{3}$

(6) $2\sqrt{3} - 2\sqrt{7}$

(7) $11 + 4\sqrt{6}$

(8) $2$