与えられた式 $\frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{\sqrt{10}}$ を計算し、分母に根号がない形に変形せよ。

1. 問題の内容

与えられた式 $\frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{\sqrt{10}}$ を計算し、分母に根号がない形に変形せよ。

2. 解き方の手順

まず、分母の有理化を行うために、分母分子に $\sqrt{10}$ を掛けます。

$$\frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{\sqrt{10}} = \frac{(\sqrt{5}-\sqrt{2})\sqrt{10}}{\sqrt{10}\sqrt{10}}$$

次に、分子を展開します。

$$(\sqrt{5}-\sqrt{2})\sqrt{10} = \sqrt{5}\sqrt{10} - \sqrt{2}\sqrt{10} = \sqrt{50} - \sqrt{20}$$

$\sqrt{50}$ と $\sqrt{20}$ をそれぞれ簡単にします。

$$\sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = 5\sqrt{2}$$

$$\sqrt{20} = \sqrt{4 \times 5} = 2\sqrt{5}$$

したがって、

$$\sqrt{50} - \sqrt{20} = 5\sqrt{2} - 2\sqrt{5}$$

また、分母は $\sqrt{10}\sqrt{10} = 10$ となります。

よって、

$$\frac{(\sqrt{5}-\sqrt{2})\sqrt{10}}{\sqrt{10}\sqrt{10}} = \frac{5\sqrt{2} - 2\sqrt{5}}{10}$$

3. 最終的な答え

$$\frac{5\sqrt{2} - 2\sqrt{5}}{10}$$