(1) 2つの整数36486と14189の最大公約数を $g$ とおく。 (i) $\frac{14189}{36486}$ を約分する。 (ii) $g$ の約数の総和は $g+1$ である。このとき、$g = \alpha \beta$ を満たす整数 $\alpha, \beta$ の値の組み合わせは何通りあるか。 (2) 実数 $a, b, c$ に対して、$\sqrt{(a^2bc)^1(ab^2c)^2(abc^2)^3}$ を簡単にする。 (3) $0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ とする。$\sin \theta + \cos \theta = \frac{1}{4}$ のとき、$\tan \theta$ の値を求める。

1. 問題の内容

(1) 2つの整数36486と14189の最大公約数を $g$ とおく。

(i) $\frac{14189}{36486}$ を約分する。

(ii) $g$ の約数の総和は $g+1$ である。このとき、$g = \alpha \beta$ を満たす整数 $\alpha, \beta$ の値の組み合わせは何通りあるか。

(2) 実数 $a, b, c$ に対して、$\sqrt{(a^2bc)^1(ab^2c)^2(abc^2)^3}$ を簡単にする。

(3) $0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ とする。$\sin \theta + \cos \theta = \frac{1}{4}$ のとき、$\tan \theta$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1)

(i) 36486と14189の最大公約数を求める。ユークリッドの互除法を用いる。

$36486 = 2 \times 14189 + 8108$

$14189 = 1 \times 8108 + 6081$

$8108 = 1 \times 6081 + 2027$

$6081 = 3 \times 2027 + 0$

よって、最大公約数 $g$ は 2027 である。

$\frac{14189}{36486} = \frac{7 \times 2027}{18 \times 2027} = \frac{7}{18}$

(ii) $g = 2027$ の約数の総和は $g+1 = 2028$ である。

$2027$ は素数なので、約数は $1$ と $2027$ である。よって、約数の総和は $1+2027 = 2028$ となる。

$g = \alpha \beta$ より、$2027 = \alpha \beta$ を満たす $\alpha, \beta$ の組み合わせを求める。

$2027$ は素数なので、$\alpha \beta = 1 \times 2027$ または $\alpha \beta = 2027 \times 1$ または $\alpha \beta = (-1) \times (-2027)$ または $\alpha \beta = (-2027) \times (-1)$ である。

したがって、$(\alpha, \beta)$ の組み合わせは、$(1, 2027)$, $(2027, 1)$, $(-1, -2027)$, $(-2027, -1)$ の4通りである。

(2) $\sqrt{(a^2bc)^1(ab^2c)^2(abc^2)^3}$ を簡単にする。

$\sqrt{a^2bc \cdot a^2b^4c^2 \cdot a^3b^3c^6} = \sqrt{a^{2+2+3}b^{1+4+3}c^{1+2+6}} = \sqrt{a^7b^8c^9} = \sqrt{a^6b^8c^8 \cdot ac} = |a^3b^4c^4|\sqrt{ac} = |a^3||b^4||c^4|\sqrt{ac} = |a^3|b^4c^4\sqrt{ac}$

(3) $\sin \theta + \cos \theta = \frac{1}{4}$ のとき、$\tan \theta$ の値を求める。

両辺を2乗すると、

$(\sin \theta + \cos \theta)^2 = \sin^2 \theta + 2\sin \theta \cos \theta + \cos^2 \theta = 1 + 2\sin \theta \cos \theta = \frac{1}{16}$

$2\sin \theta \cos \theta = \frac{1}{16} - 1 = -\frac{15}{16}$

$\sin \theta \cos \theta = -\frac{15}{32}$

$\sin \theta + \cos \theta = \frac{1}{4}$ より、$\cos \theta = \frac{1}{4} - \sin \theta$

$\sin \theta \cos \theta = \sin \theta (\frac{1}{4} - \sin \theta) = \frac{1}{4}\sin \theta - \sin^2 \theta = -\frac{15}{32}$

$\sin^2 \theta - \frac{1}{4}\sin \theta - \frac{15}{32} = 0$

$32\sin^2 \theta - 8\sin \theta - 15 = 0$

$(8\sin \theta + 5)(4\sin \theta - 3) = 0$

$\sin \theta = -\frac{5}{8}$ または $\sin \theta = \frac{3}{4}$

$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ より、$\sin \theta \ge 0$ なので、$\sin \theta = \frac{3}{4}$

$\cos \theta = \frac{1}{4} - \sin \theta = \frac{1}{4} - \frac{3}{4} = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2}$

$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{3/4}{-1/2} = \frac{3}{4} \times (-2) = -\frac{3}{2}$

3. 最終的な答え

(1)

(i) $\frac{7}{18}$

(ii) 4通り

(2) $|a^3|b^4c^4\sqrt{ac}$

(3) $-\frac{3}{2}$