与えられた分数の式を簡単にします。 与えられた式は $\frac{1-\sqrt{2}+\sqrt{3}}{1+\sqrt{2}+\sqrt{3}}$ です。

1. 問題の内容

与えられた分数の式を簡単にします。

与えられた式は

$\frac{1-\sqrt{2}+\sqrt{3}}{1+\sqrt{2}+\sqrt{3}}$

です。

2. 解き方の手順

分母を有理化するために、分母と分子に $1 + \sqrt{3} - \sqrt{2}$ をかけます。

$\frac{1-\sqrt{2}+\sqrt{3}}{1+\sqrt{2}+\sqrt{3}} = \frac{(1-\sqrt{2}+\sqrt{3})(1+\sqrt{3}-\sqrt{2})}{(1+\sqrt{2}+\sqrt{3})(1+\sqrt{3}-\sqrt{2})}$

分子を展開すると:

$(1-\sqrt{2}+\sqrt{3})(1+\sqrt{3}-\sqrt{2}) = 1 + \sqrt{3} - \sqrt{2} - \sqrt{2} - \sqrt{6} + 2 + \sqrt{3} + 3 - \sqrt{6} = 6 - 2\sqrt{2} + 2\sqrt{3} - 2\sqrt{6}$

分母を展開すると:

$(1+\sqrt{3}+\sqrt{2})(1+\sqrt{3}-\sqrt{2}) = (1+\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2 = 1 + 2\sqrt{3} + 3 - 2 = 2+2\sqrt{3}$

よって、

$\frac{6 - 2\sqrt{2} + 2\sqrt{3} - 2\sqrt{6}}{2+2\sqrt{3}} = \frac{3 - \sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{6}}{1+\sqrt{3}}$

再び分母を有理化するために、分母と分子に $1 - \sqrt{3}$ をかけます。

$\frac{(3 - \sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{6})(1 - \sqrt{3})}{(1+\sqrt{3})(1-\sqrt{3})} = \frac{3 - 3\sqrt{3} - \sqrt{2} + \sqrt{6} + \sqrt{3} - 3 - \sqrt{6} + 3\sqrt{2}}{1 - 3} = \frac{2\sqrt{2} - 2\sqrt{3}}{-2} = \sqrt{3} - \sqrt{2}$

3. 最終的な答え

$\sqrt{3} - \sqrt{2}$