花火職人の福田先生が打ち上げる花火の軌道を二次関数で表す問題です。花火は川岸から2mの高さから打ち上げられ、放物線の頂点の高さは50mです。また、花火は川岸から4m離れた地点で破裂します。これらの情報から、花火の軌道を表す二次関数の式を求め、放物線の頂点、軸、形状を求めます。

1. 問題の内容

花火職人の福田先生が打ち上げる花火の軌道を二次関数で表す問題です。花火は川岸から2mの高さから打ち上げられ、放物線の頂点の高さは50mです。また、花火は川岸から4m離れた地点で破裂します。これらの情報から、花火の軌道を表す二次関数の式を求め、放物線の頂点、軸、形状を求めます。

2. 解き方の手順

問1：状況を図示する（省略）

問2：

* 頂点：問題文より、頂点の高さは50m、花火が打ち上げられた地点からの水平距離は不明であるものの、放物線の対称性から、花火が破裂する地点のちょうど中間地点が頂点のx座標となる。花火は川岸から4m離れた地点で破裂するので、花火が打ち上げられた地点から2m離れた地点が頂点のx座標となる。したがって、頂点の座標は(2, 50)となる。

* 軸：放物線の軸は頂点を通る鉛直線なので、$x=2$。

* 形状：上に凸

問3：

* 求める放物線は、$y=a(x-p)^2+q$と表せる。

* 頂点が(2, 50)であるから、$y=a(x-2)^2+50$と表せる。

* 花火は川岸から2mの高さから打ち上げられるので、座標(0, 2)を通る。

* (0, 2)を代入すると、$2=a(0-2)^2+50$となり、$2=4a+50$が成り立つ。

* $4a=-48$より、$a=-12$となる。

* したがって、求める放物線の式は、$y=-12(x-2)^2+50$。

* 展開すると、$y=-12(x^2-4x+4)+50 = -12x^2+48x-48+50 = -12x^2+48x+2$ となる。

問4：

福田先生へ。

いつも素晴らしい花火をありがとうございます。今回の花火は、川面に映る姿も楽しめるように工夫されているとのことで、とても楽しみです。安全に配慮して、これからも感動的な花火を打ち上げてください。

3. 最終的な答え

問2：

* 頂点：(2, 50)

* 軸：$x=2$

* 形状：上に凸

問3：

$y = -12(x-2)^2 + 50$

または、$y = -12x^2 + 48x + 2$

問4：（例）

福田先生へ。

いつも素晴らしい花火をありがとうございます。今回の花火は、川面に映る姿も楽しめるように工夫されているとのことで、とても楽しみです。安全に配慮して、これからも感動的な花火を打ち上げてください。