花火職人の福田先生が打ち上げる花火の軌道が放物線になることを利用して、その放物線の式を求める問題です。花火は川岸から2mの高さから打ち上げられ、高さ50mの頂点に達し、川岸から4m離れた地点で破裂します。川岸からの水平距離を $x$ m、地面からの高さを $y$ mとして、以下の手順で2次関数の式を求めます。 * 問1：置かれている状況を絵に描く。 * 問2：求める放物線の頂点、軸、形状（上に凸か下に凸か）を答える。 * 問3：求める放物線を $y = a(x - p)^2 + q$ と表せることを利用して、放物線の式を求める。

1. 問題の内容

花火職人の福田先生が打ち上げる花火の軌道が放物線になることを利用して、その放物線の式を求める問題です。花火は川岸から2mの高さから打ち上げられ、高さ50mの頂点に達し、川岸から4m離れた地点で破裂します。川岸からの水平距離を $x$ m、地面からの高さを $y$ mとして、以下の手順で2次関数の式を求めます。

* 問1：置かれている状況を絵に描く。

* 問2：求める放物線の頂点、軸、形状（上に凸か下に凸か）を答える。

* 問3：求める放物線を $y = a(x - p)^2 + q$ と表せることを利用して、放物線の式を求める。

2. 解き方の手順

**問1：状況の図示**

まず、問題文から与えられた情報を元に状況を図示します。

* 花火は川岸から2mの高さから打ち上げられる。

* 花火の軌道は放物線を描く。

* 花火は高さ50mの頂点に達する。

* 花火は川岸から4m離れた地点で破裂する。

**問2：頂点、軸、形状の特定**

* **頂点：** 問題文より、頂点の座標は(2, 50)です。水平方向は、花火が4m離れた地点で破裂することから、頂点はその半分の位置である2mの地点にあると分かります。

* **軸：** 軸は頂点を通る鉛直線なので、$x = 2$ です。

* **形状：** 花火は打ち上げられてから落下するので、放物線は上に凸です。

**問3：放物線の式の決定**

放物線の式は頂点形式で $y = a(x - p)^2 + q$ と表されます。頂点の座標が $(2, 50)$ なので、$p = 2$、$q = 50$ を代入して、

$y = a(x - 2)^2 + 50$

次に、$a$ の値を求めます。花火は川岸から2mの高さから打ち上げられるので、$(0, 2)$ を通ります。この点を式に代入すると、

$2 = a(0 - 2)^2 + 50$

$2 = 4a + 50$

$4a = -48$

$a = -12$

したがって、放物線の式は次のようになります。

$y = -12(x - 2)^2 + 50$

3. 最終的な答え

* 問2：頂点 (2, 50)、軸 x = 2、形状：上に凸

* 問3：$y = -12(x - 2)^2 + 50$