1から5までの数字が書かれた5枚のカードとコインがある。カードを1枚引き、コインを投げる。コインが表ならカードの数字を得点、裏なら0点とする。このゲームを3回行い、それぞれの得点を $a$, $b$, $c$ とする。以下の確率をそれぞれ求めよ。 (1) $a+b+c=15$ (2) $a+b+c \leq 1$ (3) $a \times b \times c = 0$ (4) $a=b=c$ (5) 同じ得点が2回以上続く確率

はい、承知いたしました。問題の解答を以下に示します。

1. 問題の内容

1から5までの数字が書かれた5枚のカードとコインがある。カードを1枚引き、コインを投げる。コインが表ならカードの数字を得点、裏なら0点とする。このゲームを3回行い、それぞれの得点を $a$, $b$, $c$ とする。以下の確率をそれぞれ求めよ。

(1) $a+b+c=15$

(2) $a+b+c \leq 1$

(3) $a \times b \times c = 0$

(4) $a=b=c$

(5) 同じ得点が2回以上続く確率

2. 解き方の手順

まず、3回の試行で取りうる全ての組み合わせの数を考える。各試行において、カードは5種類、コインは表裏の2種類があるため、1回の試行の結果は10通りである。したがって、3回の試行の結果は $10 \times 10 \times 10 = 1000$ 通りである。

(1) $a+b+c=15$ となる場合

$a, b, c$ はそれぞれ0または1から5の整数である。

$a+b+c = 15$となる組み合わせを考える。

考えられる組み合わせは $(5, 5, 5)$ のみである。

$(5, 5, 5)$となるのは、3回とも5のカードを引き、かつ3回ともコインが表になる場合である。

5のカードを引く確率は $1/5$、コインが表になる確率は $1/2$ なので、

3回とも5のカードを引き、かつ3回ともコインが表になる確率は $(1/5 \times 1/2)^3 = 1/1000$

(2) $a+b+c \leq 1$ となる場合

$a+b+c \leq 1$ となるのは、

(i) $a=b=c=0$

(ii) 1回だけ1が出て、残りは0

の場合である。

(i) の確率は $(1/2)^3 = 1/8$ (3回とも裏)

(ii) の確率は、1が1回だけ出る場合なので、

1回目に1が出て残りが0の場合、2回目に1が出て残りが0の場合、3回目に1が出て残りが0の場合の3パターンがある。

1が出る確率は $1/5 \times 1/2 = 1/10$ であり、0が出る確率は $1/2$ であるため、

$(1/10) \times (1/2)^2 \times 3 = 3/40$

したがって、確率は $1/8 + 3/40 = 5/40 + 3/40 = 8/40 = 1/5$

(3) $a \times b \times c = 0$ となる場合

これは、$a, b, c$ の少なくとも1つが0になる場合である。

余事象を考えると、$a, b, c$ の全てが0でない場合を考えれば良い。

$a, b, c$ の全てが0でない確率は、3回ともコインが表が出る場合である。

1回に0が出ない確率は $1/2$ なので、3回とも0が出ない確率は $(1/2)^3 = 1/8$

したがって、少なくとも1つが0になる確率は $1 - 1/8 = 7/8$

(4) $a=b=c$ となる場合

$a=b=c$ となるのは、

(i) $a=b=c=0$

(ii) $a=b=c=1, 2, 3, 4, 5$

の場合である。

(i) の確率は $(1/2)^3 = 1/8$

(ii) の確率は、各数字について $(1/5 \times 1/2)^3 = 1/1000$ であるから、

$5 \times (1/1000) = 5/1000 = 1/200$

したがって、確率は $1/8 + 1/200 = 25/200 + 1/200 = 26/200 = 13/100$

(5) 同じ得点が2回以上続く確率

これは、

$a=b$ または $b=c$ となる確率を求めれば良い。

$a=b$ となる確率は $1/10$ であり、$b=c$ となる確率も $1/10$ である。

$a=b$ かつ $b=c$ となる確率は $a=b=c$ となる確率であるから、$13/100$ である。

したがって、$a=b$ または $b=c$ となる確率は $1/10 + 1/10 - 13/100 = 20/100 - 13/100 = 7/100$

したがって、同じ得点が2回以上続く確率は、$7/100$である。

3. 最終的な答え

(1) $1/1000$

(2) $1/5$

(3) $7/8$

(4) $13/100$

(5) $7/100$