一辺の長さが1の正六角形$A_1A_2A_3A_4A_5A_6$がある。 1つのサイコロを5回投げ、出た目を順に$n_1, n_2, n_3, n_4, n_5$とする。 (1) $n_1, n_2, n_3$がすべて異なるという条件のもとで、三角形$A_{n_1}A_{n_2}A_{n_3}$の面積が$\frac{\sqrt{3}}{2}$であるという条件付き確率を求める。 (2) $n_1, n_2, n_3$がすべて異なり、かつ$n_4 = n_5$であるという条件のもとで、線分$A_{n_4}A_{n_5}$が三角形$A_{n_1}A_{n_2}A_{n_3}$の面積を2等分するという条件付き確率を求める。

1. 問題の内容

一辺の長さが1の正六角形$A_1A_2A_3A_4A_5A_6$がある。

1つのサイコロを5回投げ、出た目を順に$n_1, n_2, n_3, n_4, n_5$とする。

(1) $n_1, n_2, n_3$がすべて異なるという条件のもとで、三角形$A_{n_1}A_{n_2}A_{n_3}$の面積が$\frac{\sqrt{3}}{2}$であるという条件付き確率を求める。

(2) $n_1, n_2, n_3$がすべて異なり、かつ$n_4 = n_5$であるという条件のもとで、線分$A_{n_4}A_{n_5}$が三角形$A_{n_1}A_{n_2}A_{n_3}$の面積を2等分するという条件付き確率を求める。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$n_1, n_2, n_3$がすべて異なる場合の総数を求める。これは$6 \times 5 \times 4 = 120$通りである。

次に、三角形$A_{n_1}A_{n_2}A_{n_3}$の面積が$\frac{\sqrt{3}}{2}$となる場合を考える。正六角形の中心をOとすると、正六角形の面積は$6 \times \frac{\sqrt{3}}{4} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$である。三角形$A_{n_1}A_{n_2}A_{n_3}$の面積が$\frac{\sqrt{3}}{2}$となるのは、$A_{n_1}, A_{n_2}, A_{n_3}$が正三角形をなす場合である。

これは、例えば$A_1, A_3, A_5$や、$A_2, A_4, A_6$のような場合である。

このとき、$n_1, n_2, n_3$の組み合わせは$(1, 3, 5)$と$(2, 4, 6)$およびその並び替えである。

$(1, 3, 5)$の並び替えは$3! = 6$通り、$(2, 4, 6)$の並び替えも$3! = 6$通りである。合計で$6 + 6 = 12$通り。

したがって、条件付き確率は$\frac{12}{120} = \frac{1}{10}$となる。

(2)

まず、$n_1, n_2, n_3$がすべて異なり、かつ$n_4 = n_5$である場合の総数を求める。

$n_1, n_2, n_3$がすべて異なる組み合わせは$6 \times 5 \times 4 = 120$通り。$n_4 = n_5$であるから、$n_4$は6通りの値を取り得る。したがって、全体の組み合わせは$120 \times 6 = 720$通りである。

次に、線分$A_{n_4}A_{n_5}$が三角形$A_{n_1}A_{n_2}A_{n_3}$の面積を2等分する場合を考える。$n_4 = n_5$であるから、これは点$A_{n_4}$が三角形$A_{n_1}A_{n_2}A_{n_3}$の面積を2等分する直線上に存在することを意味する。

これは、$A_{n_4}$が$A_{n_1}, A_{n_2}, A_{n_3}$のいずれかの中点と一致する場合である。三角形$A_{n_1}A_{n_2}A_{n_3}$の頂点の一つから対辺の中点へ引いた線は三角形の面積を二等分する。

$n_1, n_2, n_3$がすべて異なる組み合わせを一つ固定したとき、$n_4$が$n_1, n_2, n_3$のいずれかと等しい場合、条件を満たす。これは$n_4$が3通りあることを意味する。

$n_1, n_2, n_3$の選び方は$6 \times 5 \times 4 = 120$通りであったから、全体では$120 \times 3 = 360$通り。

したがって、求める条件付き確率は$\frac{360}{720} = \frac{1}{2}$となる。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{10}$

(2) $\frac{1}{2}$