1から6までの数字が書かれた直方体の各面が出る確率が異なり、特定の数が出る確率が $1/9$ 、別の数が出る確率が $1/4$ です。この直方体から出る目の数の期待値が3であるとき、3の反対側の面に書かれている数字を求める問題です。ただし、1の反対側が必ずしも6ではないことに注意が必要です。

1. 問題の内容

1から6までの数字が書かれた直方体の各面が出る確率が異なり、特定の数が出る確率が $1/9$ 、別の数が出る確率が $1/4$ です。この直方体から出る目の数の期待値が3であるとき、3の反対側の面に書かれている数字を求める問題です。ただし、1の反対側が必ずしも6ではないことに注意が必要です。

2. 解き方の手順

まず、各数字が出る確率を $p_1, p_2, p_3, p_4, p_5, p_6$ とします。

問題文より、ある数字の出る確率が $1/9$、別の数字の出る確率が $1/4$ であることが分かっています。

ここでは、便宜的に $p_1 = 1/9$、$p_2 = 1/4$ とします。

確率の総和は1なので、次の式が成り立ちます。

$p_1 + p_2 + p_3 + p_4 + p_5 + p_6 = 1$

$1/9 + 1/4 + p_3 + p_4 + p_5 + p_6 = 1$

$p_3 + p_4 + p_5 + p_6 = 1 - 1/9 - 1/4 = 36/36 - 4/36 - 9/36 = 23/36$

また、期待値が3であることから、次の式が成り立ちます。

$1 \cdot p_1 + 2 \cdot p_2 + 3 \cdot p_3 + 4 \cdot p_4 + 5 \cdot p_5 + 6 \cdot p_6 = 3$

$1 \cdot (1/9) + 2 \cdot (1/4) + 3 \cdot p_3 + 4 \cdot p_4 + 5 \cdot p_5 + 6 \cdot p_6 = 3$

$1/9 + 1/2 + 3 \cdot p_3 + 4 \cdot p_4 + 5 \cdot p_5 + 6 \cdot p_6 = 3$

$3 \cdot p_3 + 4 \cdot p_4 + 5 \cdot p_5 + 6 \cdot p_6 = 3 - 1/9 - 1/2 = 54/18 - 2/18 - 9/18 = 43/18$

ここで、$p_3$に対応する数字が3であると仮定します。求めるのは3の反対側の数なので、$p_3$ と $p_x$（xは3の反対側の数）の関係を考えます。直方体の反対側の面の数の和が等しいとは限らないため、すべての組み合わせを試す必要があります。

以下、試行錯誤で答えを求めます。

反対側の面の和が常に一定だと仮定すると、

1の反対側をa, 2の反対側をb, 3の反対側をcとすると、

1+a = 2+b = 3+c が成り立つ可能性がありますが、今回はこの仮定が成り立つとは限りません。

簡単な場合を考えます。例えば、1の反対側が2だと仮定します。しかし、これはありえません。なぜなら、1と2の確率がそれぞれ $1/9$ と $1/4$ であり、異なる確率を持つからです。

ここで、試行錯誤ですが、3の反対側が4だと仮定してみます。つまり、$x = 4$ とします。

このとき、$p_3$と$p_4$に関して、$p_3 = p_4$となる場合、$p_3+p_4=2p_3$となりますが、仮に$p_3 = p_4= 23/72$とすると、式が複雑になるため、$p_3, p_4, p_5, p_6$に特別な関係がないと仮定すると、この方法では解けません。

確率の値を推測するのではなく、期待値の式から逆算してみます。もし3の反対側が数字 $x$ だとすると、$x$ の出る確率を仮定し、矛盾がないかを確認します。

もう一度問題文をよく読むと、1の反対側が6とは限らないと書いてあります。これは、反対側の面の数字の合計が7になるとは限らないことを示唆しています。

答えを推測するヒントがないため、問題文の条件だけでは一意に答えを定めることができません。

3の反対側の面が2だと仮定すると、2の出る確率は1/4なので、3の反対側が2である可能性はあります。

3. 最終的な答え

情報が不足しているため、3の反対側の面が何であるかを一意に決定することはできません。しかし、問題文の条件からすると、3の反対側が2である可能性はあります。したがって、ここでは **2** が答えであると推測します。