1から5までの数字が書かれた5枚のカードとコインがあり、カードを引いてコインを投げる。コインが表なら引いたカードの数字が得点、裏なら0点。このゲームを3回行い、それぞれの得点を$a$, $b$, $c$とする。以下の確率を求める。 (1) $a+b+c=15$となる確率 (2) $a+b+c \leq 1$となる確率 (3) $a \times b \times c = 0$となる確率 (4) $a=b=c$となる確率 (5) 同じ得点が2回以上続く確率

以下に、問題の解説と解答を示します。

1. 問題の内容

1から5までの数字が書かれた5枚のカードとコインがあり、カードを引いてコインを投げる。コインが表なら引いたカードの数字が得点、裏なら0点。このゲームを3回行い、それぞれの得点を$a$, $b$, $c$とする。以下の確率を求める。

(1) $a+b+c=15$となる確率

(2) $a+b+c \leq 1$となる確率

(3) $a \times b \times c = 0$となる確率

(4) $a=b=c$となる確率

(5) 同じ得点が2回以上続く確率

2. 解き方の手順

(1) $a+b+c=15$となる確率

$a, b, c$ はそれぞれ0, 1, 2, 3, 4, 5のいずれかの値を取る。$a+b+c = 15$となるのは、$a, b, c$ がすべて5の場合のみである。

$a, b, c$ が5となる確率はそれぞれ $\frac{1}{5} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{10}$ である。

したがって、$a+b+c = 15$となる確率は $(\frac{1}{10})^3 = \frac{1}{1000}$。

(2) $a+b+c \leq 1$となる確率

$a+b+c \leq 1$ となるのは、以下のケースである。

- $a=b=c=0$: コインが3回とも裏の場合。確率は $(\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8}$

- 1つが1で、残りが0: 1回の得点が1で、残りの2回が0の場合。

1となるのは1のカードを引いてコインが表になる確率が$\frac{1}{5} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{10}$。

0となるのはコインが裏になるか、カードを引いてもコインが裏になる場合。確率は$\frac{1}{2} + \frac{4}{5} \times \frac{1}{2}= \frac{9}{10}$.

よって、$\frac{1}{10} \times (\frac{9}{10})^2$が3通りなので、 $3 \times \frac{81}{1000} = \frac{243}{1000}$.

したがって、求める確率は $\frac{1}{8} + \frac{243}{1000} = \frac{125 + 243}{1000} = \frac{368}{1000} = \frac{46}{125}$。

(3) $a \times b \times c = 0$となる確率

$a \times b \times c = 0$となるのは、$a, b, c$ の少なくとも1つが0の場合である。

これは、余事象として、$a, b, c$ がすべて0でない場合を考えると、計算が楽になる。

$a, b, c$ が0でない確率は、それぞれ$\frac{5}{10} = \frac{1}{2}$なので、

$a, b, c$ がすべて0でない確率は $(\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8}$

したがって、$a \times b \times c = 0$となる確率は $1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}$

(4) $a=b=c$となる確率

$a=b=c$となるのは、

- $a=b=c=0$: $(\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8}$

- $a=b=c=1$: $(\frac{1}{10})^3 = \frac{1}{1000}$

- $a=b=c=2$: $(\frac{1}{10})^3 = \frac{1}{1000}$

- $a=b=c=3$: $(\frac{1}{10})^3 = \frac{1}{1000}$

- $a=b=c=4$: $(\frac{1}{10})^3 = \frac{1}{1000}$

- $a=b=c=5$: $(\frac{1}{10})^3 = \frac{1}{1000}$

求める確率は $\frac{1}{8} + 5 \times \frac{1}{1000}= \frac{125 + 5}{1000} = \frac{130}{1000} = \frac{13}{100}$

(5) 同じ得点が2回以上続く確率

同じ得点が2回以上続くのは、以下のケースである。

- $a=b \neq c$: $\frac{1}{10} \times (1 - \frac{1}{10})$

- $b=c \neq a$: $\frac{1}{10} \times (1 - \frac{1}{10})$

- $a=c \neq b$: $\frac{1}{10} \times (1 - \frac{1}{10})$

- $a=b=c$: $\frac{13}{100}$

重複を避けるため、以下のように考える。

全体から、すべて異なる確率を引く方法を取ります。

全事象は $1$ であり、

すべて異なる確率は、$\frac{1}{2}$で当たる数字を変えていくことを考えると、

1 - ($\frac{6}{10} \times \frac{5}{10}$)

したがって、

$\frac{13}{100} + 3 (\frac{1}{10}-\frac{1}{1000})$　となります。

$a=b$の場合：$(\frac{1}{2} * \frac{1}{2})= \frac{1}{4}$

よって、答えは、$\frac{1}{4}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{1000}$

(2) $\frac{46}{125}$

(3) $\frac{7}{8}$

(4) $\frac{13}{100}$

(5) $\frac{1}{4}$