1辺の長さが1の正六角形 $A_1A_2A_3A_4A_5A_6$ があります。1つのサイコロを5回投げ、出た目を順に $n_1, n_2, n_3, n_4, n_5$ とします。次の条件付き確率を求めます。 (1) $n_1, n_2, n_3$ が全て異なるという条件の下で、三角形 $A_{n_1}A_{n_2}A_{n_3}$ の面積が $\frac{\sqrt{3}}{2}$ である確率を求めます。 (2) $n_1, n_2, n_3$ が全て異なり、かつ $n_4 \ne n_5$ であるという条件の下で、線分 $A_{n_4}A_{n_5}$ が三角形 $A_{n_1}A_{n_2}A_{n_3}$ の面積を2等分する確率を求めます。

1. 問題の内容

1辺の長さが1の正六角形 $A_1A_2A_3A_4A_5A_6$ があります。1つのサイコロを5回投げ、出た目を順に $n_1, n_2, n_3, n_4, n_5$ とします。次の条件付き確率を求めます。

(1) $n_1, n_2, n_3$ が全て異なるという条件の下で、三角形 $A_{n_1}A_{n_2}A_{n_3}$ の面積が $\frac{\sqrt{3}}{2}$ である確率を求めます。

(2) $n_1, n_2, n_3$ が全て異なり、かつ $n_4 \ne n_5$ であるという条件の下で、線分 $A_{n_4}A_{n_5}$ が三角形 $A_{n_1}A_{n_2}A_{n_3}$ の面積を2等分する確率を求めます。

2. 解き方の手順

(1)

$n_1, n_2, n_3$ が全て異なるという条件の下で、三角形 $A_{n_1}A_{n_2}A_{n_3}$ の面積が $\frac{\sqrt{3}}{2}$ である確率を求めます。

まず、$n_1, n_2, n_3$ が全て異なる場合の数を計算します。

これは、6つの異なる目から3つを選ぶ順列なので、$6 \times 5 \times 4 = 120$ 通りです。

次に、三角形 $A_{n_1}A_{n_2}A_{n_3}$ の面積が $\frac{\sqrt{3}}{2}$ となる場合を考えます。正六角形の1辺の長さが1なので、面積が $\frac{\sqrt{3}}{2}$ となるのは、$A_{n_1}, A_{n_2}, A_{n_3}$ が正三角形をなす場合です。これは、例えば $A_1A_3A_5$ や $A_2A_4A_6$ のような場合です。

この正三角形の頂点の選び方は、$\{1, 3, 5\}$ と $\{2, 4, 6\}$ の2通りあります。それぞれの選び方に対して、頂点の並び方は $3! = 6$ 通りあるので、合計で $2 \times 6 = 12$ 通りです。

したがって、条件付き確率は $\frac{12}{120} = \frac{1}{10}$ となります。

(2)

$n_1, n_2, n_3$ が全て異なり、かつ $n_4 \ne n_5$ であるという条件の下で、線分 $A_{n_4}A_{n_5}$ が三角形 $A_{n_1}A_{n_2}A_{n_3}$ の面積を2等分する確率を求めます。

まず、$n_1, n_2, n_3$ が全て異なる場合の数は、$6 \times 5 \times 4 = 120$ 通りです。また、$n_4 \ne n_5$ となる場合の数は、$6 \times 5 = 30$ 通りです。したがって、$n_1, n_2, n_3$ が全て異なり、かつ $n_4 \ne n_5$ となる場合の数は、$120 \times 30 = 3600$ 通りではありません。$n_1, n_2, n_3, n_4, n_5$が全て異なる、という条件ではありませんので、$n_1, n_2, n_3$が全て異なる場合の数を120通りとして、それぞれに対して$n_4 \ne n_5$となる組み合わせを考慮します。

次に、線分 $A_{n_4}A_{n_5}$ が三角形 $A_{n_1}A_{n_2}A_{n_3}$ の面積を2等分する場合を考えます。

三角形 $A_{n_1}A_{n_2}A_{n_3}$ の面積が $\frac{\sqrt{3}}{2}$ となるのは、$A_{n_1}, A_{n_2}, A_{n_3}$ が正三角形をなす場合です。正三角形の頂点の選び方は、$\{1, 3, 5\}$ と $\{2, 4, 6\}$ の2通りあります。

線分 $A_{n_4}A_{n_5}$ が正三角形の面積を2等分するには、$A_{n_4}A_{n_5}$ が正三角形の頂点の一つを通り、対辺の中点を通る必要があります。この時、$n_4$または$n_5$のどちらか一つが$n_1,n_2,n_3$のいずれかに一致する必要があります。

したがって、$n_1, n_2, n_3$ は $\{1,3,5\}$ または $\{2,4,6\}$ のいずれかである必要があり、正三角形の頂点の並び方は $3! = 6$通りです。

$n_4$が正三角形の頂点のいずれかに一致し、$n_5$が異なる場合は、2通りです。$n_5$が正三角形の頂点のいずれかに一致し、$n_4$が異なる場合も、2通りです。なので$2+2=4$。

$\{1, 3, 5\}$ または $\{2, 4, 6\}$ のどちらであるかの2通りがあるので、$6\times 4 \times 2 = 48$

$120 \times 30 = 3600$通りを分母にするので、確率は$\frac{48}{3600} = \frac{12 \times 4}{120 \times 30} = \frac{4}{10 \times 30} = \frac{4}{300} = \frac{1}{75}$ではありません。

$n_1, n_2, n_3$ が全て異なる場合の数は、$6 \times 5 \times 4 = 120$。その中の正三角形をなす場合の数は $12$。

正三角形の頂点のいずれかである$n_1, n_2, n_3$が決定された場合、$n_4, n_5$はそれぞれ正三角形を構成する3つの頂点のうちのいずれかになる必要があります。

$n_4 \ne n_5$なので、正三角形の頂点のどれかになる場合、3通りではなく2通り。

$120$通りのうち、正三角形の面積$\frac{\sqrt{3}}{2}$になるのは$12$通りなので、その確率は$\frac{12}{120} = \frac{1}{10}$。

次に、線分 $A_{n_4}A_{n_5}$ が正三角形 $A_{n_1}A_{n_2}A_{n_3}$ の面積を2等分する確率を考えます。

$n_1, n_2, n_3$が正三角形をなす時、三角形の面積を2等分するには、$n_4, n_5$のうち1つが三角形の頂点のうちの1つになり、もう1つがその頂点から向かい側の辺の中点を通る必要があります。しかし、$n_4 \neq n_5$なので、$n_4, n_5$のうち1つは $n_1, n_2, n_3$ のいずれかと一致し、もう1つは正六角形の頂点のいずれかと一致する必要があります。正三角形を構成する$A_{n_1}A_{n_2}A_{n_3}$ から一つの頂点を選びます。それは3通りです。さらに $n_4 \neq n_5$ なので、もう1つは残りの３つを選ばなければならないので、３通りあります。したがって、$3 \times 3 = 9通りになります。

$n_1, n_2, n_3$の選び方は 2通りあるため、$9 \times 2 = 18$通りとなります。

したがって、確率は $\frac{18}{3600} = \frac{1}{200}$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{10}$

(2) $\frac{1}{200}$