あるサイコロを720回投げたところ、6の目が142回出ました。このサイコロの6の目が出る確率が$\frac{1}{6}$ではないと判断してよいか、有意水準5%で検定します。

1. 問題の内容

あるサイコロを720回投げたところ、6の目が142回出ました。このサイコロの6の目が出る確率が$\frac{1}{6}$ではないと判断してよいか、有意水準5%で検定します。

2. 解き方の手順

(1) 帰無仮説と対立仮説を設定する。

* 帰無仮説 $H_0$: サイコロの6の目が出る確率は$\frac{1}{6}$である。

* 対立仮説 $H_1$: サイコロの6の目が出る確率は$\frac{1}{6}$ではない。

(2) 有意水準を定める。

* 有意水準は5% (0.05) とする。

(3) 検定統計量を計算する。

* 標本比率 $\hat{p} = \frac{142}{720} \approx 0.1972$

* 帰無仮説の下での期待確率 $p_0 = \frac{1}{6} \approx 0.1667$

* 標本数 $n = 720$

検定統計量 $z$ は以下の式で計算される。

$z = \frac{\hat{p} - p_0}{\sqrt{\frac{p_0(1-p_0)}{n}}}$

$z = \frac{0.1972 - 0.1667}{\sqrt{\frac{0.1667(1-0.1667)}{720}}}$

$z = \frac{0.0305}{\sqrt{\frac{0.1667 \times 0.8333}{720}}}$

$z = \frac{0.0305}{\sqrt{\frac{0.1389}{720}}}$

$z = \frac{0.0305}{\sqrt{0.000193}}$

$z = \frac{0.0305}{0.0139}$

$z \approx 2.194$

(4) 棄却域を定める。

* 対立仮説が「$\frac{1}{6}$ではない」なので、両側検定を行う。

* 有意水準5%の両側検定なので、棄却域は $|z| > 1.96$ となる。

(5) 検定統計量と棄却域を比較し、結論を出す。

* 計算された検定統計量 $z \approx 2.194$ は、棄却域 $|z| > 1.96$ に含まれる。

* よって、帰無仮説は棄却される。

3. 最終的な答え

有意水準5%で、サイコロの6の目が出る確率は$\frac{1}{6}$ではないと判断してよい。