(1) 赤玉4個、白玉2個、青玉1個を紐でつないで首飾りを作るとき、首飾りの作り方の総数を求める問題。ただし、裏返して一致するものは同一視する。 (2) 正四面体と正六面体の各面に絵の具で色を塗る問題。1つの面には1色しか塗らず、回転して一致するものは同じとみなす。問1は、12色の絵の具を使って正四面体の面を全て異なる色で塗る場合の塗り方の総数を求める問題。問2は、8色の絵の具を使って正六面体の面を全て異なる色で塗る場合の塗り方の総数を求める問題。

1. 問題の内容

(1) 赤玉4個、白玉2個、青玉1個を紐でつないで首飾りを作るとき、首飾りの作り方の総数を求める問題。ただし、裏返して一致するものは同一視する。

(2) 正四面体と正六面体の各面に絵の具で色を塗る問題。1つの面には1色しか塗らず、回転して一致するものは同じとみなす。問1は、12色の絵の具を使って正四面体の面を全て異なる色で塗る場合の塗り方の総数を求める問題。問2は、8色の絵の具を使って正六面体の面を全て異なる色で塗る場合の塗り方の総数を求める問題。

2. 解き方の手順

(1)

7個の玉を並べる順列を考える。赤玉は区別しないので、4!で割る。白玉も区別しないので、2!で割る。

よって、$7!/(4!2!1!) = 7*6*5 / 2 = 105$ 通り。

円順列なので、7で割る。ただし、回転対称性がある場合を考慮する必要がある。

7個の玉の並びは、周期が7か1しかない。

裏返して一致するものを同一視するので、(105-3)/2 + 3 = 54

(2) 問1

正四面体の4つの面を12色で塗り分ける。まず、異なる4色を選ぶ組み合わせは $_{12}C_4$ 通り。

正四面体を固定したとき、4つの面の塗り方は4!通り。

しかし、回転対称性を考慮する必要がある。正四面体の回転対称性は12。

したがって、塗り方の総数は、$_{12}C_4 * 4! / 12 = (12*11*10*9 / (4*3*2*1)) * 24 / 12 = 495 * 2 = 990$

(2) 問2

正六面体の6つの面を8色で塗り分ける。まず、異なる6色を選ぶ組み合わせは $_{8}C_6$ 通り。

正六面体を固定したとき、6つの面の塗り方は6!通り。

しかし、回転対称性を考慮する必要がある。正六面体の回転対称性は24。

したがって、塗り方の総数は、$_{8}C_6 * 6! / 24 = (8*7/(2*1)) * 720 / 24 = 28 * 30 = 840$

3. 最終的な答え

(1) 54通り

(2) 問1: 990通り

(2) 問2: 840通り