画像に記載された数学の問題は、平方根の計算、平方根が整数となるような条件、および与えられた平方根の値を利用した計算です。具体的には、以下の問題が含まれています。 (1) $\sqrt{28n}$ が整数となるような最小の自然数 $n$ の値を求める。 (2) $\sqrt{140n}$ が整数となるような最小の正の整数 $n$ の値を求める。 (3) $\sqrt{\frac{75}{n}}$ が整数となるような最小の自然数 $n$ の値を求める。 (4) $\sqrt{14-a}$ が整数となるような自然数 $a$ の値をすべて求める。 (5) $\sqrt{5} = 2.236$, $\sqrt{50} = 7.071$ として、$\sqrt{0.005}$, $\sqrt{50000}$, $\sqrt{0.05}$, $\sqrt{50000000}$, $\sqrt{1800}$, $\sqrt{1.25}$ の値を求める。 (6) $\sqrt{21} \times \sqrt{10} \times \sqrt{6}$, $\sqrt{35} \div 2\sqrt{3} \div (-\sqrt{15})$, $\sqrt{6} \times \sqrt{21} \div \sqrt{14}$, $3\sqrt{3} \div \sqrt{10} \times \sqrt{15}$ の計算をする。

はい、承知いたしました。数学の問題を解いていきます。

1. 問題の内容

画像に記載された数学の問題は、平方根の計算、平方根が整数となるような条件、および与えられた平方根の値を利用した計算です。具体的には、以下の問題が含まれています。

(1) $\sqrt{28n}$ が整数となるような最小の自然数 $n$ の値を求める。

(2) $\sqrt{140n}$ が整数となるような最小の正の整数 $n$ の値を求める。

(3) $\sqrt{\frac{75}{n}}$ が整数となるような最小の自然数 $n$ の値を求める。

(4) $\sqrt{14-a}$ が整数となるような自然数 $a$ の値をすべて求める。

(5) $\sqrt{5} = 2.236$, $\sqrt{50} = 7.071$ として、$\sqrt{0.005}$, $\sqrt{50000}$, $\sqrt{0.05}$, $\sqrt{50000000}$, $\sqrt{1800}$, $\sqrt{1.25}$ の値を求める。

(6) $\sqrt{21} \times \sqrt{10} \times \sqrt{6}$, $\sqrt{35} \div 2\sqrt{3} \div (-\sqrt{15})$, $\sqrt{6} \times \sqrt{21} \div \sqrt{14}$, $3\sqrt{3} \div \sqrt{10} \times \sqrt{15}$ の計算をする。

2. 解き方の手順

(1) $\sqrt{28n}$ が整数となる条件:

$28 = 2^2 \times 7$ なので、$\sqrt{28n} = \sqrt{2^2 \times 7 \times n}$ が整数となるには、$n$ が少なくとも $7$ の倍数である必要があります。したがって、最小の自然数 $n$ は $7$ です。

(2) $\sqrt{140n}$ が整数となる条件:

$140 = 2^2 \times 5 \times 7$ なので、$\sqrt{140n} = \sqrt{2^2 \times 5 \times 7 \times n}$ が整数となるには、$n$ が少なくとも $5 \times 7 = 35$ の倍数である必要があります。したがって、最小の正の整数 $n$ は $35$ です。

(3) $\sqrt{\frac{75}{n}}$ が整数となる条件:

$75 = 3 \times 5^2$ なので、$\sqrt{\frac{75}{n}} = \sqrt{\frac{3 \times 5^2}{n}}$ が整数となるには、$n$ が $3$ または $3 \times 5^2$の約数である必要があります。

$n=75$のとき、$\sqrt{\frac{75}{75}} = 1$。$n=3$のとき$\sqrt{\frac{75}{3}} = 5$。

最小の自然数 $n$ は $3$ です。

(4) $\sqrt{14-a}$ が整数となる条件:

$14-a$ が $0, 1, 4, 9$ (平方数)のいずれかになる必要があります。

- $14 - a = 0 \Rightarrow a = 14$

- $14 - a = 1 \Rightarrow a = 13$

- $14 - a = 4 \Rightarrow a = 10$

- $14 - a = 9 \Rightarrow a = 5$

したがって、$a$ の値は $5, 10, 13, 14$ です。

(5) 与えられた値を利用した計算:

① $\sqrt{0.005} = \sqrt{\frac{5}{1000}} = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{1000}} = \frac{\sqrt{5}}{10\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{5} \times \sqrt{10}}{10\sqrt{10}\times\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{50}}{100} = \frac{7.071}{100} = 0.07071$

② $\sqrt{50000} = \sqrt{50 \times 1000} = 100 \times \sqrt{5} = \sqrt{50 \times 1000} = \sqrt{5 \times 10^4} = 100 \sqrt{5} = 100 \times 2.236 = 223.6$

③ $\sqrt{0.05} = \sqrt{\frac{5}{100}} = \frac{\sqrt{5}}{10} = \frac{2.236}{10} = 0.2236$

④ $\sqrt{50000000} = \sqrt{50 \times 10^6} = \sqrt{50} \times \sqrt{10^6} = \sqrt{50} \times 10^3 = 7.071 \times 1000 = 7071$

⑤ $\sqrt{1800} = \sqrt{36 \times 50} = \sqrt{6^2 \times 50} = 6 \sqrt{50} = 6 \times 7.071 = 42.426$

⑥ $\sqrt{1.25} = \sqrt{\frac{125}{100}} = \frac{\sqrt{125}}{10} = \frac{\sqrt{25 \times 5}}{10} = \frac{5\sqrt{5}}{10} = \frac{\sqrt{5}}{2} = \frac{2.236}{2} = 1.118$

(6) 計算:

(1) $\sqrt{21} \times \sqrt{10} \times \sqrt{6} = \sqrt{21 \times 10 \times 6} = \sqrt{3 \times 7 \times 2 \times 5 \times 2 \times 3} = \sqrt{2^2 \times 3^2 \times 5 \times 7} = 2 \times 3 \times \sqrt{35} = 6\sqrt{35}$

(2) $\sqrt{35} \div 2\sqrt{3} \div (-\sqrt{15}) = \frac{\sqrt{35}}{2\sqrt{3}} \times \frac{1}{-\sqrt{15}} = \frac{\sqrt{7} \times \sqrt{5}}{-2\sqrt{3} \times \sqrt{3} \times \sqrt{5}} = -\frac{\sqrt{7}}{2 \times 3} = -\frac{\sqrt{7}}{6}$

(3) $\sqrt{6} \times \sqrt{21} \div \sqrt{14} = \frac{\sqrt{6} \times \sqrt{21}}{\sqrt{14}} = \frac{\sqrt{2 \times 3} \times \sqrt{3 \times 7}}{\sqrt{2 \times 7}} = \frac{\sqrt{2} \times \sqrt{3} \times \sqrt{3} \times \sqrt{7}}{\sqrt{2} \times \sqrt{7}} = 3$

(4) $3\sqrt{3} \div \sqrt{10} \times \sqrt{15} = \frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{10}} \times \sqrt{15} = \frac{3\sqrt{3} \times \sqrt{5} \times \sqrt{3}}{\sqrt{2} \times \sqrt{5}} = \frac{3 \times 3 \times \sqrt{5}}{\sqrt{2} \times \sqrt{5}} = \frac{9}{\sqrt{2}} = \frac{9\sqrt{2}}{2}$

3. 最終的な答え

(1) 7

(2) 35

(3) 3

(4) 5, 10, 13, 14

(5) ① 0.07071, ② 223.6, ③ 0.2236, ④ 7071, ⑤ 42.426, ⑥ 1.118

(6) (1) $6\sqrt{35}$, (2) $-\frac{\sqrt{7}}{6}$, (3) 3, (4) $\frac{9\sqrt{2}}{2}$