与えられた平方根を含む計算問題を解く。問題は2つのパートに分かれており、それぞれにいくつかの小問がある。 パート1は平方根の四則演算、パート2は平方根を含む式の計算である。

1. 問題の内容

与えられた平方根を含む計算問題を解く。問題は2つのパートに分かれており、それぞれにいくつかの小問がある。

パート1は平方根の四則演算、パート2は平方根を含む式の計算である。

2. 解き方の手順

まず、各小問ごとに以下の手順で計算を行う。

- 平方根の中身をできるだけ小さい自然数にする。

- 分母に平方根がある場合は有理化を行う。

- 同類項をまとめる。

パート1

(1) $\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{6}} - \frac{2}{\sqrt{3}}$

$\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{6}} = \frac{3\sqrt{2}\sqrt{6}}{6} = \frac{3\sqrt{12}}{6} = \frac{3 \cdot 2\sqrt{3}}{6} = \sqrt{3}$

$\frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$

$\sqrt{3} - \frac{2\sqrt{3}}{3} = \frac{3\sqrt{3}}{3} - \frac{2\sqrt{3}}{3} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

(2) $\frac{\sqrt{10}}{2} + \frac{6\sqrt{5}}{\sqrt{2}}$

$\frac{6\sqrt{5}}{\sqrt{2}} = \frac{6\sqrt{5}\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{10}$

$\frac{\sqrt{10}}{2} + 3\sqrt{10} = \frac{\sqrt{10}}{2} + \frac{6\sqrt{10}}{2} = \frac{7\sqrt{10}}{2}$

(3) $\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{3}} - \frac{\sqrt{12}}{\sqrt{2}}$

$\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{2}\sqrt{3}}{3} = \sqrt{6}$

$\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{12}{2}} = \sqrt{6}$

$\sqrt{6} - \sqrt{6} = 0$

(4) $\sqrt{8} - \frac{2}{\sqrt{2}} - \frac{2\sqrt{6}}{\sqrt{3}}$

$\sqrt{8} = 2\sqrt{2}$

$\frac{2}{\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$

$\frac{2\sqrt{6}}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{\frac{6}{3}} = 2\sqrt{2}$

$2\sqrt{2} - \sqrt{2} - 2\sqrt{2} = -\sqrt{2}$

(5) $\sqrt{7} - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{14}}$

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{14}} = \sqrt{\frac{2}{14}} = \sqrt{\frac{1}{7}} = \frac{1}{\sqrt{7}} = \frac{\sqrt{7}}{7}$

$\sqrt{7} - \frac{\sqrt{7}}{7} = \frac{7\sqrt{7}}{7} - \frac{\sqrt{7}}{7} = \frac{6\sqrt{7}}{7}$

パート2

(1) $(\sqrt{27} + \sqrt{90}) \div \sqrt{3}$

$\sqrt{27} = 3\sqrt{3}$

$\sqrt{90} = 3\sqrt{10}$

$(3\sqrt{3} + 3\sqrt{10}) \div \sqrt{3} = \frac{3\sqrt{3} + 3\sqrt{10}}{\sqrt{3}} = 3 + \frac{3\sqrt{10}}{\sqrt{3}} = 3 + 3\sqrt{\frac{10}{3}} = 3 + 3\frac{\sqrt{30}}{3} = 3 + \sqrt{30}$

(2) $\sqrt{5}(\sqrt{15} - 2)$

$\sqrt{5}\sqrt{15} = \sqrt{75} = 5\sqrt{3}$

$\sqrt{5}(\sqrt{15} - 2) = 5\sqrt{3} - 2\sqrt{5}$

(3) $-\sqrt{3}(\sqrt{27} + 2\sqrt{6})$

$\sqrt{27} = 3\sqrt{3}$

$-\sqrt{3}(3\sqrt{3} + 2\sqrt{6}) = -3(3) - 2\sqrt{18} = -9 - 2(3\sqrt{2}) = -9 - 6\sqrt{2}$

(4) $(\sqrt{3} - 2\sqrt{12}) \div 2\sqrt{6}$

$2\sqrt{12} = 2(2\sqrt{3}) = 4\sqrt{3}$

$(\sqrt{3} - 4\sqrt{3}) \div 2\sqrt{6} = -3\sqrt{3} \div 2\sqrt{6} = \frac{-3\sqrt{3}}{2\sqrt{6}} = \frac{-3}{2\sqrt{2}} = \frac{-3\sqrt{2}}{4}$

3. 最終的な答え

パート1

(1) $\frac{\sqrt{3}}{3}$

(2) $\frac{7\sqrt{10}}{2}$

(3) $0$

(4) $-\sqrt{2}$

(5) $\frac{6\sqrt{7}}{7}$

パート2

(1) $3 + \sqrt{30}$

(2) $5\sqrt{3} - 2\sqrt{5}$

(3) $-9 - 6\sqrt{2}$

(4) $-\frac{3\sqrt{2}}{4}$