与えられた平方根の式が整数となるような条件を満たす自然数や整数の値を求めたり、平方根の近似値を用いて与えられた数の値を求めたり、平方根の計算をしたりする問題です。具体的には以下の問題があります。 (1) $\sqrt{63n}$ が整数となる最小の自然数 $n$ を求める。 (2) $\sqrt{60a}$ が整数となる最小の正の整数 $a$ を求める。 (3) $\sqrt{\frac{147}{n}}$ が整数となる最小の自然数 $n$ を求める。 (4) $\sqrt{17-n}$ が整数となる自然数 $n$ を全て求める。 (5) $\sqrt{11} = 3.317$, $\sqrt{110} = 10.49$ として、以下の値を求める。 (1) $\sqrt{11000}$ (2) $\sqrt{0.0011}$ (3) $\sqrt{11000000}$ (4) $\sqrt{1.1}$ (5) $\sqrt{990}$ (6) $\sqrt{1.76}$ (6) 以下の計算をする。 (1) $\sqrt{14} \times \sqrt{15} \times \sqrt{35}$ (2) $\sqrt{20} \div \sqrt{10} \times \sqrt{18}$ (3) $\sqrt{60} \div \sqrt{27} \div (-\sqrt{45})$ (4) $4\sqrt{2} \times 7\sqrt{5} \div 8\sqrt{6}$

1. 問題の内容

与えられた平方根の式が整数となるような条件を満たす自然数や整数の値を求めたり、平方根の近似値を用いて与えられた数の値を求めたり、平方根の計算をしたりする問題です。具体的には以下の問題があります。

(1) $\sqrt{63n}$ が整数となる最小の自然数 $n$ を求める。

(2) $\sqrt{60a}$ が整数となる最小の正の整数 $a$ を求める。

(3) $\sqrt{\frac{147}{n}}$ が整数となる最小の自然数 $n$ を求める。

(4) $\sqrt{17-n}$ が整数となる自然数 $n$ を全て求める。

(5) $\sqrt{11} = 3.317$, $\sqrt{110} = 10.49$ として、以下の値を求める。

(1) $\sqrt{11000}$

(2) $\sqrt{0.0011}$

(3) $\sqrt{11000000}$

(4) $\sqrt{1.1}$

(5) $\sqrt{990}$

(6) $\sqrt{1.76}$

(6) 以下の計算をする。

(1) $\sqrt{14} \times \sqrt{15} \times \sqrt{35}$

(2) $\sqrt{20} \div \sqrt{10} \times \sqrt{18}$

(3) $\sqrt{60} \div \sqrt{27} \div (-\sqrt{45})$

(4) $4\sqrt{2} \times 7\sqrt{5} \div 8\sqrt{6}$

2. 解き方の手順

(1) $\sqrt{63n} = \sqrt{3^2 \times 7 \times n}$ が整数となるためには、$n$ が $7$ の倍数である必要がある。したがって、最小の自然数 $n$ は $7$ である。

(2) $\sqrt{60a} = \sqrt{2^2 \times 3 \times 5 \times a}$ が整数となるためには、$a$ が $3 \times 5 = 15$ の倍数である必要がある。したがって、最小の正の整数 $a$ は $15$ である。

(3) $\sqrt{\frac{147}{n}} = \sqrt{\frac{3 \times 7^2}{n}}$ が整数となるためには、$n$ が $3$ の約数である必要がある。$n$ は $147$ の約数であり、$147/n$ が平方数となる必要がある。

$n = 1$ のとき $\sqrt{147}$ は整数ではない。

$n = 3$ のとき $\sqrt{49} = 7$ となり、整数となる。

したがって、最小の自然数 $n$ は $3$ である。

(4) $\sqrt{17-n}$ が整数となるためには、$17-n \ge 0$ であり、$17-n$ が平方数である必要がある。

$17-n = 0, 1, 4, 9, 16$

$n = 17, 16, 13, 8, 1$

したがって、自然数 $n$ は $1, 8, 13, 16, 17$ である。

(5) (1) $\sqrt{11000} = \sqrt{110 \times 100} = 10\sqrt{110} = 10 \times 10.49 = 104.9$

(2) $\sqrt{0.0011} = \sqrt{\frac{11}{10000}} = \frac{\sqrt{11}}{100} = \frac{3.317}{100} = 0.03317$

(3) $\sqrt{11000000} = \sqrt{110 \times 100000} = 100\sqrt{110} = 100 \times 10.49 = 1049$

(4) $\sqrt{1.1} = \sqrt{\frac{11}{10}} = \frac{\sqrt{110}}{10} = \frac{10.49}{10} = 1.049$

(5) $\sqrt{990} = \sqrt{9 \times 110} = 3\sqrt{110} = 3 \times 10.49 = 31.47$

(6) $\sqrt{1.76} = \sqrt{\frac{176}{100}} = \sqrt{\frac{16 \times 11}{100}} = \frac{4\sqrt{11}}{10} = \frac{4 \times 3.317}{10} = \frac{13.268}{10} = 1.3268$

(6) (1) $\sqrt{14} \times \sqrt{15} \times \sqrt{35} = \sqrt{2 \times 7 \times 3 \times 5 \times 5 \times 7} = \sqrt{2 \times 3 \times 5^2 \times 7^2} = 5 \times 7 \sqrt{2 \times 3} = 35\sqrt{6}$

(2) $\sqrt{20} \div \sqrt{10} \times \sqrt{18} = \sqrt{\frac{20}{10}} \times \sqrt{18} = \sqrt{2} \times \sqrt{18} = \sqrt{2 \times 18} = \sqrt{36} = 6$

(3) $\sqrt{60} \div \sqrt{27} \div (-\sqrt{45}) = \frac{\sqrt{60}}{\sqrt{27} \times (-\sqrt{45})} = \frac{\sqrt{4 \times 3 \times 5}}{\sqrt{3^3} \times (-\sqrt{3^2 \times 5})} = \frac{2\sqrt{15}}{3\sqrt{3} \times (-3\sqrt{5})} = \frac{2\sqrt{3} \sqrt{5}}{-9\sqrt{3} \sqrt{3} \sqrt{5}} = \frac{2}{-9\sqrt{3}} = -\frac{2\sqrt{3}}{27}$

(4) $4\sqrt{2} \times 7\sqrt{5} \div 8\sqrt{6} = \frac{4\sqrt{2} \times 7\sqrt{5}}{8\sqrt{6}} = \frac{28\sqrt{10}}{8\sqrt{6}} = \frac{7\sqrt{10}}{2\sqrt{6}} = \frac{7\sqrt{5} \sqrt{2}}{2\sqrt{3} \sqrt{2}} = \frac{7\sqrt{5}}{2\sqrt{3}} = \frac{7\sqrt{15}}{6}$

3. 最終的な答え

1. (1) $7$

2. (2) $15$

3. (3) $3$

4. (4) $1, 8, 13, 16, 17$

5. (5)

(1) $104.9$

(2) $0.03317$

(3) $1049$

(4) $1.049$

(5) $31.47$

(6) $1.3268$

6. (6)

(1) $35\sqrt{6}$

(2) $6$

(3) $-\frac{2\sqrt{3}}{27}$

(4) $\frac{7\sqrt{15}}{6}$