$\sqrt{10 - 5\sqrt{3}}$ の二重根号を外す問題です。

1. 問題の内容

$\sqrt{10 - 5\sqrt{3}}$ の二重根号を外す問題です。

2. 解き方の手順

二重根号を外すには、$\sqrt{a \pm \sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a + \sqrt{a^2 - b}}{2}} \pm \sqrt{\frac{a - \sqrt{a^2 - b}}{2}}$ の公式を利用します。

まず、$\sqrt{10 - 5\sqrt{3}}$ を $\sqrt{a - \sqrt{b}}$ の形にするために、$5\sqrt{3}$ を $\sqrt{b}$ の形にします。

$5\sqrt{3} = \sqrt{(5\sqrt{3})^2} = \sqrt{25 \cdot 3} = \sqrt{75}$

したがって、$\sqrt{10 - 5\sqrt{3}} = \sqrt{10 - \sqrt{75}}$ となります。

次に、$a = 10$, $b = 75$ として公式に当てはめます。

$a^2 - b = 10^2 - 75 = 100 - 75 = 25$

$\sqrt{a^2 - b} = \sqrt{25} = 5$

$\sqrt{\frac{a + \sqrt{a^2 - b}}{2}} = \sqrt{\frac{10 + 5}{2}} = \sqrt{\frac{15}{2}} = \sqrt{\frac{30}{4}} = \frac{\sqrt{30}}{2}$

$\sqrt{\frac{a - \sqrt{a^2 - b}}{2}} = \sqrt{\frac{10 - 5}{2}} = \sqrt{\frac{5}{2}} = \sqrt{\frac{10}{4}} = \frac{\sqrt{10}}{2}$

したがって、$\sqrt{10 - 5\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{15}}{\sqrt{2}} - \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{30}}{2} - \frac{\sqrt{10}}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{\sqrt{30} - \sqrt{10}}{2}$