4桁の自然数 $n$ の千の位、百の位、十の位、一の位の数字をそれぞれ $a, b, c, d$ とする。以下の条件を満たす $n$ は全部で何個あるか。 (1) $a > b > c > d$ (2) $a \geq b > c > d$

1. 問題の内容

4桁の自然数 $n$ の千の位、百の位、十の位、一の位の数字をそれぞれ $a, b, c, d$ とする。以下の条件を満たす $n$ は全部で何個あるか。

(1) $a > b > c > d$

(2) $a \geq b > c > d$

2. 解き方の手順

(1) $a > b > c > d$ の場合

$a, b, c, d$ はそれぞれ $0$ から $9$ までの数字であり、このうち $a$ は $0$ であってはならない。

$a > b > c > d$ より、異なる4つの数字を選ぶことになる。

$0$ から $9$ までの10個の数字から4つの数字を選び、大きい順に $a, b, c, d$ とすれば条件を満たす。

したがって、組み合わせの数 ${}_{10}C_4$ を計算する。

${}_{10}C_4 = \frac{10!}{4!(10-4)!} = \frac{10!}{4!6!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 10 \times 3 \times 7 = 210$

(2) $a \geq b > c > d$ の場合

$a \geq b$ であることから、$a = b$ となる場合がある。

まず、$a > b > c > d$ である場合の数を求める。これは(1)で求めた210個である。

次に、$a = b$ となる場合を考える。

この場合、$a, b, c, d$ はそれぞれ $0$ から $9$ までの数字であり、$a=b$ である。

$a \geq b > c > d$ は $b>c>d$ なので、最小の値は$d=0$。最大は$a=b=9$

$a = b$ の場合を考えると、$10 + 3 +1 -1 C1$となっているため、正しい解き方は異なる。

$a \geq b > c > d$ を満たす数字を選ぶ方法を考える。

$x = a+1$と置くと、$x > b > c > d$となり、4つの異なる数字を選ぶ問題となる。

ここで、$x$ は最大で10となるため、$0$から$10$までの11個の数字から4つの異なる数字を選び、それを大きい順に $x, b, c, d$ とする。

この選び方は${}_{11}C_4 = \frac{11 \times 10 \times 9 \times 8}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 11 \times 10 \times 3 = 330$

3. 最終的な答え

(1) 210個

(2) 330個