質量 $m$ の物体が粗い水平面上を距離 $L$ だけ移動する際に、糸の張力 $T$ が行った仕事 $W_2$ を求める問題です。ただし、物体はバネ定数 $k$ のバネにつながれており、糸は床と角度 $\theta$ をなしています。動摩擦係数は $\lambda$、重力加速度は $g$ です。$W_2$ は $W_2 = \frac{A \lambda mg L + B k L^2}{C + 2 \lambda \tan \theta}$ の形式で表され、$A, B, C$ の整数値を求める必要があります。

1. 問題の内容

質量 $m$ の物体が粗い水平面上を距離 $L$ だけ移動する際に、糸の張力 $T$ が行った仕事 $W_2$ を求める問題です。ただし、物体はバネ定数 $k$ のバネにつながれており、糸は床と角度 $\theta$ をなしています。動摩擦係数は $\lambda$、重力加速度は $g$ です。$W_2$ は $W_2 = \frac{A \lambda mg L + B k L^2}{C + 2 \lambda \tan \theta}$ の形式で表され、$A, B, C$ の整数値を求める必要があります。

2. 解き方の手順

まず、問題文に与えられたヒントにある各仕事の式を確認します。

* 張力による仕事: $W_2 = \int_0^L T \cos \theta \, dx$

* 摩擦力による仕事: $W = -\lambda \int_0^L (mg - T \sin \theta) \, dx = -\lambda mg L + \lambda \tan \theta W_2$

* バネによる仕事: $W_3 = -\int_0^L kx \, dx$

物体は距離 $L$ だけ移動して静止するので、仕事の原理より、各仕事の合計は0になります。つまり、$W_2 + W + W_3 = 0$ です。

バネによる仕事 $W_3$ を計算します。

$W_3 = -\int_0^L kx \, dx = -k \left[ \frac{1}{2}x^2 \right]_0^L = -\frac{1}{2} k L^2$

仕事の合計が0になるという条件から、

$W_2 + W + W_3 = 0$

$W_2 - \lambda mg L + \lambda \tan \theta W_2 - \frac{1}{2} k L^2 = 0$

$W_2 (1 + \lambda \tan \theta) = \lambda mg L + \frac{1}{2} k L^2$

$W_2 = \frac{\lambda mg L + \frac{1}{2} k L^2}{1 + \lambda \tan \theta} = \frac{2 (\lambda mg L + \frac{1}{2} k L^2)}{2(1 + \lambda \tan \theta)} = \frac{2 \lambda mg L + k L^2}{2 + 2 \lambda \tan \theta}$

したがって、$W_2$ は以下のようになります。

$W_2 = \frac{2 \lambda mg L + k L^2}{2 + 2 \lambda \tan \theta}$

この式と与えられた $W_2 = \frac{A \lambda mg L + B k L^2}{C + 2 \lambda \tan \theta}$ を比較すると、$A = 2$, $B = 1$, $C = 2$ であることがわかります。

3. 最終的な答え

$A = 2$

$B = 1$

$C = 2$