与えられた行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & a & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$ の逆行列 $A^{-1}$ を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & a & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$ の逆行列 $A^{-1}$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、行列 $A$ の行列式 $|A|$ を計算します。

$|A| = 1 \cdot \begin{vmatrix} a & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} - 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{vmatrix} + 0 \cdot \begin{vmatrix} 1 & a \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1(a\cdot 0 - 1\cdot 1) - 1(1\cdot 0 - 1\cdot 0) + 0 = -1$

次に、$A$ の余因子行列 $C$ を計算します。

$C_{11} = \begin{vmatrix} a & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = -1$

$C_{12} = -\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{vmatrix} = 0$

$C_{13} = \begin{vmatrix} 1 & a \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1$

$C_{21} = -\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = 0$

$C_{22} = \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{vmatrix} = 0$

$C_{23} = -\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = -1$

$C_{31} = \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ a & 1 \end{vmatrix} = 1$

$C_{32} = -\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = -1$

$C_{33} = \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & a \end{vmatrix} = a-1$

よって、$C = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -1 \\ 1 & -1 & a-1 \end{pmatrix}$

次に、$C$ の転置行列（余因子行列）$C^T$ を計算します。

$C^T = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -1 \\ 1 & -1 & a-1 \end{pmatrix}$

最後に、$A$ の逆行列 $A^{-1}$ を計算します。

$A^{-1} = \frac{1}{|A|} C^T = \frac{1}{-1} \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -1 \\ 1 & -1 & a-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & 1-a \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

$A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & 1-a \end{pmatrix}$