シグマ（$\Sigma$）を使って表された和を、シグマを使わずに、具体的な和の形で書き表す問題です。具体的には、以下の8つの式を展開します。 (1) $\sum_{k=1}^{n} b_k$ (2) $\sum_{k=2}^{5} a_k$ (3) $\sum_{k=1}^{4} k$ (4) $\sum_{k=3}^{4} k^2$ (5) $\sum_{k=1}^{n} (2k+1)$ (6) $\sum_{k=1}^{n-1} 3^{k-1}$ (7) $\sum_{k=2}^{5} (k^2-3)$ (8) $\sum_{k=3}^{7} \frac{1}{2k}$

1. 問題の内容

シグマ（$\Sigma$）を使って表された和を、シグマを使わずに、具体的な和の形で書き表す問題です。具体的には、以下の8つの式を展開します。

(1) $\sum_{k=1}^{n} b_k$

(2) $\sum_{k=2}^{5} a_k$

(3) $\sum_{k=1}^{4} k$

(4) $\sum_{k=3}^{4} k^2$

(5) $\sum_{k=1}^{n} (2k+1)$

(6) $\sum_{k=1}^{n-1} 3^{k-1}$

(7) $\sum_{k=2}^{5} (k^2-3)$

(8) $\sum_{k=3}^{7} \frac{1}{2k}$

2. 解き方の手順

各シグマ記号の定義に従い、kの値を変えながら式を展開し、総和の形で記述します。

(1) $\sum_{k=1}^{n} b_k = b_1 + b_2 + b_3 + \dots + b_n$

(2) $\sum_{k=2}^{5} a_k = a_2 + a_3 + a_4 + a_5$

(3) $\sum_{k=1}^{4} k = 1 + 2 + 3 + 4$

(4) $\sum_{k=3}^{4} k^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16$

(5) $\sum_{k=1}^{n} (2k+1) = (2(1)+1) + (2(2)+1) + (2(3)+1) + \dots + (2(n)+1) = 3 + 5 + 7 + \dots + (2n+1)$

(6) $\sum_{k=1}^{n-1} 3^{k-1} = 3^{1-1} + 3^{2-1} + 3^{3-1} + \dots + 3^{(n-1)-1} = 3^0 + 3^1 + 3^2 + \dots + 3^{n-2} = 1 + 3 + 9 + \dots + 3^{n-2}$

(7) $\sum_{k=2}^{5} (k^2-3) = (2^2-3) + (3^2-3) + (4^2-3) + (5^2-3) = (4-3) + (9-3) + (16-3) + (25-3) = 1 + 6 + 13 + 22$

(8) $\sum_{k=3}^{7} \frac{1}{2k} = \frac{1}{2(3)} + \frac{1}{2(4)} + \frac{1}{2(5)} + \frac{1}{2(6)} + \frac{1}{2(7)} = \frac{1}{6} + \frac{1}{8} + \frac{1}{10} + \frac{1}{12} + \frac{1}{14}$

3. 最終的な答え

(1) $b_1 + b_2 + b_3 + \dots + b_n$

(2) $a_2 + a_3 + a_4 + a_5$

(3) $1 + 2 + 3 + 4$

(4) $9 + 16$

(5) $3 + 5 + 7 + \dots + (2n+1)$

(6) $1 + 3 + 9 + \dots + 3^{n-2}$

(7) $1 + 6 + 13 + 22$

(8) $\frac{1}{6} + \frac{1}{8} + \frac{1}{10} + \frac{1}{12} + \frac{1}{14}$