2次関数 $y = x^2 - mx + m^2 - 3m$ のグラフが、$x$軸の正の部分と異なる2点で交わるとき、定数 $m$ の範囲を求めます。

1. 問題の内容

2次関数 $y = x^2 - mx + m^2 - 3m$ のグラフが、$x$軸の正の部分と異なる2点で交わるとき、定数 $m$ の範囲を求めます。

2. 解き方の手順

2次関数 $y = x^2 - mx + m^2 - 3m$ のグラフが、$x$軸の正の部分と異なる2点で交わる条件は、次の3つです。

(1) 判別式 $D > 0$ であること。

(2) 軸の位置が $x > 0$ であること。

(3) $f(0) > 0$ であること。

まず、(1)の判別式 $D$ を計算します。

$D = (-m)^2 - 4(1)(m^2 - 3m) = m^2 - 4m^2 + 12m = -3m^2 + 12m > 0$

$-3m(m - 4) > 0$

$m(m - 4) < 0$

したがって、$0 < m < 4$

次に、(2)の軸の位置を求めます。

軸は $x = -\frac{-m}{2(1)} = \frac{m}{2}$

$\frac{m}{2} > 0$

$m > 0$

最後に、(3)の $f(0) > 0$ を計算します。

$f(0) = 0^2 - m(0) + m^2 - 3m = m^2 - 3m > 0$

$m(m - 3) > 0$

$m < 0$ または $m > 3$

(1), (2), (3) の条件をすべて満たす $m$ の範囲を求めます。

(1) $0 < m < 4$

(2) $m > 0$

(3) $m < 0$ または $m > 3$

(1), (2)より $0 < m < 4$

これと(3)の $m < 0$ または $m > 3$ より、$3 < m < 4$

3. 最終的な答え

$3 < m < 4$