連立方程式 $2x + y = 1$ $x^2 - y^2 - 4y = 1$ を解く問題です。

1. 問題の内容

連立方程式

$2x + y = 1$

$x^2 - y^2 - 4y = 1$

を解く問題です。

2. 解き方の手順

まず、式1より、$y$ を $x$ で表します。

$y = 1 - 2x$

これを式1'とします。

次に、式1'を式2に代入します。

$x^2 - (1 - 2x)^2 - 4(1 - 2x) = 1$

これを整理します。

$x^2 - (1 - 4x + 4x^2) - 4 + 8x = 1$

$x^2 - 1 + 4x - 4x^2 - 4 + 8x = 1$

$-3x^2 + 12x - 5 = 1$

$-3x^2 + 12x - 6 = 0$

$x^2 - 4x + 2 = 0$

これを解くと、

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 8}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 2 \pm \sqrt{2}$

次に、式1'に $x = 2 \pm \sqrt{2}$ を代入して、$y$ を求めます。

$x = 2 + \sqrt{2}$ のとき、

$y = 1 - 2(2 + \sqrt{2}) = 1 - 4 - 2\sqrt{2} = -3 - 2\sqrt{2}$

$x = 2 - \sqrt{2}$ のとき、

$y = 1 - 2(2 - \sqrt{2}) = 1 - 4 + 2\sqrt{2} = -3 + 2\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

$y = 1 - 2x$

$x^2 - (1 - 2x)^2 - 4(1 - 2x) = 1$

$-3x^2 + 12x - 6 = 0$

$x = 2 \pm \sqrt{2}$

$x = 2 + \sqrt{2}$ のとき、$y = -3 - 2\sqrt{2}$

$x = 2 - \sqrt{2}$ のとき、$y = -3 + 2\sqrt{2}$

以上より、

$x = 2 + \sqrt{2}, y = -3 - 2\sqrt{2}$

または

$x = 2 - \sqrt{2}, y = -3 + 2\sqrt{2}$