与えられた数列 $1, 2, 5, 12, 25, 46, 77, ...$ の一般項 $a_n$ を求める。

1. 問題の内容

与えられた数列 $1, 2, 5, 12, 25, 46, 77, ...$ の一般項 $a_n$ を求める。

2. 解き方の手順

まず、階差数列を求める。

$b_n = a_{n+1} - a_n$

$b_1 = 2 - 1 = 1$

$b_2 = 5 - 2 = 3$

$b_3 = 12 - 5 = 7$

$b_4 = 25 - 12 = 13$

$b_5 = 46 - 25 = 21$

$b_6 = 77 - 46 = 31$

したがって、階差数列 $b_n$ は $1, 3, 7, 13, 21, 31, ...$ となる。

次に、階差数列 $b_n$ の階差数列 $c_n$ を求める。

$c_n = b_{n+1} - b_n$

$c_1 = 3 - 1 = 2$

$c_2 = 7 - 3 = 4$

$c_3 = 13 - 7 = 6$

$c_4 = 21 - 13 = 8$

$c_5 = 31 - 21 = 10$

したがって、$c_n$ は $2, 4, 6, 8, 10, ...$ となり、これは初項2、公差2の等差数列である。

よって、$c_n = 2n$ である。

次に、$b_n$ を求める。

$b_n = b_1 + \sum_{k=1}^{n-1} c_k = 1 + \sum_{k=1}^{n-1} 2k = 1 + 2 \sum_{k=1}^{n-1} k = 1 + 2 \cdot \frac{(n-1)n}{2} = 1 + n(n-1) = n^2 - n + 1$

次に、$a_n$ を求める。

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k = 1 + \sum_{k=1}^{n-1} (k^2 - k + 1) = 1 + \sum_{k=1}^{n-1} k^2 - \sum_{k=1}^{n-1} k + \sum_{k=1}^{n-1} 1$

$a_n = 1 + \frac{(n-1)n(2n-1)}{6} - \frac{(n-1)n}{2} + (n-1)$

$a_n = 1 + \frac{2n^3 - 3n^2 + n}{6} - \frac{3n^2 - 3n}{6} + \frac{6n - 6}{6}$

$a_n = \frac{6 + 2n^3 - 3n^2 + n - 3n^2 + 3n + 6n - 6}{6} = \frac{2n^3 - 6n^2 + 10n}{6} = \frac{n^3 - 3n^2 + 5n}{3}$

3. 最終的な答え

$a_n = \frac{n^3 - 3n^2 + 5n}{3}$