与えられた等差数列 $\{a_n\}$ について、以下の問いに答えます。 (3) 17は $\{a_n\}$ の第何項か。 (4) $\{a_n\}$ の初項から第n項までの和を $S_n$ とするとき、$S_n$ を最小とする $n$ 、およびそのときの $S_n$ をそれぞれ求めよ。

1. 問題の内容

与えられた等差数列 $\{a_n\}$ について、以下の問いに答えます。

(3) 17は $\{a_n\}$ の第何項か。

(4) $\{a_n\}$ の初項から第n項までの和を $S_n$ とするとき、$S_n$ を最小とする $n$ 、およびそのときの $S_n$ をそれぞれ求めよ。

2. 解き方の手順

まず、等差数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めます。

第15項が-3、第35項が37なので、

$a_{15} = a_1 + 14d = -3$

$a_{35} = a_1 + 34d = 37$

これらの式から、初項 $a_1$ と公差 $d$ を求めます。

2つの式を連立させて解くと、

$(a_1 + 34d) - (a_1 + 14d) = 37 - (-3)$

$20d = 40$

$d = 2$

$a_1 + 14(2) = -3$

$a_1 + 28 = -3$

$a_1 = -31$

したがって、等差数列の一般項は

$a_n = a_1 + (n-1)d = -31 + (n-1)2 = 2n - 33$

(3) $a_n = 17$ となる $n$ を求めます。

$2n - 33 = 17$

$2n = 50$

$n = 25$

したがって、17は第25項です。

(4) $S_n$ を最小にする $n$ を求めます。

$S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) = \frac{n}{2}(-31 + 2n - 33) = \frac{n}{2}(2n - 64) = n^2 - 32n$

$S_n = (n - 16)^2 - 256$

したがって、$S_n$ は $n = 16$ のとき最小値を取ります。

その時の値は $S_{16} = (16)^2 - 32(16) = 256 - 512 = -256$

3. 最終的な答え

(3) 17は第25項

(4) $n = 16$ のとき $S_n$ は最小となり、その値は $S_{16} = -256$