放物線を$x$軸方向に1、$y$軸方向に-2だけ平行移動したところ、$y = -2x^2 + 3x - 1$となった。元の放物線の方程式を求める問題です。

1. 問題の内容

放物線を$x$軸方向に1、$y$軸方向に-2だけ平行移動したところ、$y = -2x^2 + 3x - 1$となった。元の放物線の方程式を求める問題です。

2. 解き方の手順

平行移動前の放物線上の点を$(x, y)$とします。

$x$軸方向に1、$y$軸方向に-2平行移動した後の点は、$(x + 1, y - 2)$となります。

この移動後の点が、$y = -2x^2 + 3x - 1$上の点なので、移動後の点の座標をこの方程式に代入します。

ただし、この$x, y$は移動後の点の座標を表しているので、

$x+1$を$x'$、$y-2$を$y'$とおくと、$x=x'-1$、$y=y'+2$となる。

移動後の放物線の方程式は$y' = -2(x')^2 + 3x' - 1$なので、$x'$を$x$、$y'$を$y$に書き換えると、$y = -2x^2 + 3x - 1$となります。

元の放物線の方程式を求めるために、$x$を$x - 1$に、$y$を$y + 2$に置き換えます。

$y + 2 = -2(x - 1)^2 + 3(x - 1) - 1$

これを展開して整理します。

$y + 2 = -2(x^2 - 2x + 1) + 3x - 3 - 1$

$y + 2 = -2x^2 + 4x - 2 + 3x - 4$

$y + 2 = -2x^2 + 7x - 6$

$y = -2x^2 + 7x - 8$

3. 最終的な答え

$y = -2x^2 + 7x - 8$