ある放物線をx軸方向に1、y軸方向に-2だけ平行移動した結果、放物線 $y = -2x^2 + 3x - 1$ になった。移動前の放物線の方程式を求める。

1. 問題の内容

ある放物線をx軸方向に1、y軸方向に-2だけ平行移動した結果、放物線 $y = -2x^2 + 3x - 1$ になった。移動前の放物線の方程式を求める。

2. 解き方の手順

平行移動前の放物線の方程式を $y = f(x)$ とする。

$x$ 軸方向に1、 $y$ 軸方向に-2だけ平行移動すると、放物線の方程式は $y + 2 = f(x - 1)$ となる。

問題文より、この移動後の放物線は $y = -2x^2 + 3x - 1$ であるから、

$y + 2 = -2x^2 + 3x - 1$ となる。

$y = f(x)$ の形に戻すために、$x$ を $x+1$ で、$y$ を $y - 2$ で置き換える。

$y = -2(x+1)^2 + 3(x+1) - 1 -2$

$y = -2(x^2 + 2x + 1) + 3x + 3 - 3$

$y = -2x^2 - 4x - 2 + 3x + 3 - 3$

$y = -2x^2 - x - 2$

3. 最終的な答え

$y = -2x^2 - x - 2$