与えられた3つの放物線とx軸との共有点の個数を求め、共有点が存在する場合はその座標を求める問題です。 (1) $y = 3x^2 - 5x - 2$ (2) $y = \frac{1}{2}x^2 + 3x + \frac{9}{2}$ (3) $y = -2x^2 + 4x - 5$

1. 問題の内容

与えられた3つの放物線とx軸との共有点の個数を求め、共有点が存在する場合はその座標を求める問題です。

(1) $y = 3x^2 - 5x - 2$

(2) $y = \frac{1}{2}x^2 + 3x + \frac{9}{2}$

(3) $y = -2x^2 + 4x - 5$

2. 解き方の手順

放物線とx軸との共有点は、$y=0$としたときの$x$の値で求められます。つまり、それぞれの放物線に対して、$y=0$となる$x$の値を求めることになります。2次方程式の解の公式または判別式を利用して、共有点の個数と座標を求めます。

(1) $y = 3x^2 - 5x - 2 = 0$

解の公式を利用します。$ax^2 + bx + c = 0$ の解は $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ で与えられます。

$x = \frac{5 \pm \sqrt{(-5)^2 - 4(3)(-2)}}{2(3)}$

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 24}}{6}$

$x = \frac{5 \pm \sqrt{49}}{6}$

$x = \frac{5 \pm 7}{6}$

$x_1 = \frac{5 + 7}{6} = \frac{12}{6} = 2$

$x_2 = \frac{5 - 7}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$

よって、共有点は2個で、座標は $(2, 0)$ と $(-\frac{1}{3}, 0)$ です。

(2) $y = \frac{1}{2}x^2 + 3x + \frac{9}{2} = 0$

両辺に2を掛けて、$x^2 + 6x + 9 = 0$

$(x+3)^2 = 0$

$x = -3$

よって、共有点は1個で、座標は $(-3, 0)$ です。

(3) $y = -2x^2 + 4x - 5 = 0$

判別式 $D = b^2 - 4ac$ を用いて、共有点の個数を調べます。

$D = 4^2 - 4(-2)(-5) = 16 - 40 = -24$

判別式 $D < 0$ なので、共有点は0個です。

3. 最終的な答え

(1) 共有点は2個。座標は $(2, 0)$ と $(-\frac{1}{3}, 0)$

(2) 共有点は1個。座標は $(-3, 0)$

(3) 共有点は0個。