2次方程式 $x^2 - 2(m-2)x - m + 14 = 0$ が、ともに正の異なる2つの解を持つときの、$m$ の値の範囲を求める。

## 問題102(1)

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 - 2(m-2)x - m + 14 = 0$ が、ともに正の異なる2つの解を持つときの、$m$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

異なる2つの正の解を持つ条件は以下の3つである。

(1) 判別式 $D > 0$ (異なる2つの実数解を持つ)

(2) 解の和 $\alpha + \beta > 0$ (2つの解がともに正)

(3) 解の積 $\alpha \beta > 0$ (2つの解がともに正)

まず、与えられた2次方程式 $x^2 - 2(m-2)x - m + 14 = 0$ について、

係数から $a=1$, $b=-2(m-2)$, $c=-m+14$ となる。

(1) 判別式 $D$ について:

$D = b^2 - 4ac = (-2(m-2))^2 - 4(1)(-m+14) > 0$

$4(m^2 - 4m + 4) + 4m - 56 > 0$

$4m^2 - 16m + 16 + 4m - 56 > 0$

$4m^2 - 12m - 40 > 0$

$m^2 - 3m - 10 > 0$

$(m-5)(m+2) > 0$

よって、 $m < -2$ または $m > 5$

(2) 解の和 $\alpha + \beta$ について:

解と係数の関係より、$\alpha + \beta = -\frac{b}{a} = 2(m-2) > 0$

$2m - 4 > 0$

$2m > 4$

$m > 2$

(3) 解の積 $\alpha \beta$ について:

解と係数の関係より、$\alpha \beta = \frac{c}{a} = -m + 14 > 0$

$-m > -14$

$m < 14$

上記の3つの条件をすべて満たす $m$ の範囲を求める。

$m < -2$ または $m > 5$

$m > 2$

$m < 14$

数直線で考えると、$m > 5$ かつ $m < 14$ が条件を満たす。

したがって、$5 < m < 14$

3. 最終的な答え

$5 < m < 14$