与えられた二次関数を $y=a(x-p)^2 + q$ の形に変形し、$a$, $p$, $q$ の値を求めます。問題は4つあります。

1. 問題の内容

与えられた二次関数を $y=a(x-p)^2 + q$ の形に変形し、$a$, $p$, $q$ の値を求めます。問題は4つあります。

2. 解き方の手順

(1) $y = x^2 + 4x + 1$

平方完成を行います。

$x^2 + 4x$ の部分を $(x+A)^2 - A^2$ の形にします。

$x^2 + 4x = (x+2)^2 - 2^2 = (x+2)^2 - 4$

よって、$y = (x+2)^2 - 4 + 1 = (x+2)^2 - 3$

$y = (x - (-2))^2 - 3$

(2) $y = -2x^2 - x + 5$

まず、$x^2$ の係数でくくります。

$y = -2(x^2 + \frac{1}{2}x) + 5$

$x^2 + \frac{1}{2}x$ の部分を平方完成します。

$x^2 + \frac{1}{2}x = (x + \frac{1}{4})^2 - (\frac{1}{4})^2 = (x + \frac{1}{4})^2 - \frac{1}{16}$

$y = -2((x + \frac{1}{4})^2 - \frac{1}{16}) + 5 = -2(x + \frac{1}{4})^2 + \frac{2}{16} + 5 = -2(x + \frac{1}{4})^2 + \frac{1}{8} + 5 = -2(x + \frac{1}{4})^2 + \frac{1}{8} + \frac{40}{8} = -2(x + \frac{1}{4})^2 + \frac{41}{8}$

$y = -2(x - (-\frac{1}{4}))^2 + \frac{41}{8}$

(3) $y = \frac{1}{2}x^2 - x + \frac{3}{2}$

$x^2$ の係数でくくります。

$y = \frac{1}{2}(x^2 - 2x) + \frac{3}{2}$

$x^2 - 2x$ の部分を平方完成します。

$x^2 - 2x = (x - 1)^2 - 1^2 = (x - 1)^2 - 1$

$y = \frac{1}{2}((x - 1)^2 - 1) + \frac{3}{2} = \frac{1}{2}(x - 1)^2 - \frac{1}{2} + \frac{3}{2} = \frac{1}{2}(x - 1)^2 + \frac{2}{2} = \frac{1}{2}(x - 1)^2 + 1$

(4) $y = -\frac{1}{5}x^2 + 3$

$y = -\frac{1}{5}(x - 0)^2 + 3$

3. 最終的な答え

(1) $y = (x+2)^2 - 3$, $a=1$, $p=-2$, $q=-3$

(2) $y = -2(x + \frac{1}{4})^2 + \frac{41}{8}$, $a=-2$, $p=-\frac{1}{4}$, $q=\frac{41}{8}$

(3) $y = \frac{1}{2}(x - 1)^2 + 1$, $a=\frac{1}{2}$, $p=1$, $q=1$

(4) $y = -\frac{1}{5}(x - 0)^2 + 3$, $a=-\frac{1}{5}$, $p=0$, $q=3$