与えられた数列の階差数列が $3, 5, 7, 9, \dots$ であり、その一般項が $b_n = 2n + 1$ であるとき、元の数列の一般項 $a_n$ を求めよ。

1. 問題の内容

与えられた数列の階差数列が $3, 5, 7, 9, \dots$ であり、その一般項が $b_n = 2n + 1$ であるとき、元の数列の一般項 $a_n$ を求めよ。

2. 解き方の手順

$n \ge 2$ のとき、数列の一般項 $a_n$ は、初項 $a_1$ と階差数列の和を用いて表される。

$a_1 = 3$ である。

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} (2k+1)$

$a_n = 3 + \sum_{k=1}^{n-1} (2k+1) = 3 + 2 \sum_{k=1}^{n-1} k + \sum_{k=1}^{n-1} 1$

$\sum_{k=1}^{n-1} k = \frac{1}{2} (n-1)n$

$\sum_{k=1}^{n-1} 1 = n-1$

したがって、

$a_n = 3 + 2 \cdot \frac{1}{2} (n-1)n + (n-1) = 3 + (n-1)n + (n-1)$

$a_n = 3 + n^2 - n + n - 1 = n^2 + 2$

$a_n = n^2 + 2$ が得られた。

初項 $a_1 = 3$ なので、$n=1$ のとき、$a_1 = 1^2 + 2 = 3$ となり、この式は $n=1$ のときにも成り立つ。

3. 最終的な答え

$a_n = n^2 + 2$