$\sum_{k=1}^{n} (5k+4)$ を計算する。

1. 問題の内容

$\sum_{k=1}^{n} (5k+4)$ を計算する。

2. 解き方の手順

シグマ記号の性質を利用して、和を分解する。

$\sum_{k=1}^{n} (5k+4) = \sum_{k=1}^{n} 5k + \sum_{k=1}^{n} 4$

定数をシグマ記号の外に出す。

$\sum_{k=1}^{n} 5k + \sum_{k=1}^{n} 4 = 5 \sum_{k=1}^{n} k + 4 \sum_{k=1}^{n} 1$

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$ と $\sum_{k=1}^{n} 1 = n$ を代入する。

$5 \sum_{k=1}^{n} k + 4 \sum_{k=1}^{n} 1 = 5 \cdot \frac{n(n+1)}{2} + 4n$

式を整理する。

$5 \cdot \frac{n(n+1)}{2} + 4n = \frac{5n(n+1)}{2} + \frac{8n}{2} = \frac{5n^2 + 5n + 8n}{2} = \frac{5n^2 + 13n}{2}$

$n$でくくる。

$\frac{5n^2 + 13n}{2} = \frac{n(5n+13)}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{n(5n+13)}{2}$