与えられた数列の総和を求めます。 問題は、$\sum_{k=1}^{n} 6 \cdot 3^{k-1}$ を計算することです。

1. 問題の内容

与えられた数列の総和を求めます。

問題は、$\sum_{k=1}^{n} 6 \cdot 3^{k-1}$ を計算することです。

2. 解き方の手順

まず、総和記号の外に定数を取り出します。

$$\sum_{k=1}^{n} 6 \cdot 3^{k-1} = 6 \sum_{k=1}^{n} 3^{k-1}$$

次に、数列 $\sum_{k=1}^{n} 3^{k-1}$ は初項 $3^0=1$、公比 $3$、項数 $n$ の等比数列の和です。等比数列の和の公式は、

$$S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1}$$

ここで、$a$は初項、$r$は公比、$n$は項数です。

この場合、$a = 1$, $r = 3$ なので、

$$\sum_{k=1}^{n} 3^{k-1} = \frac{1 \cdot (3^n - 1)}{3 - 1} = \frac{3^n - 1}{2}$$

したがって、元の総和は

$$6 \sum_{k=1}^{n} 3^{k-1} = 6 \cdot \frac{3^n - 1}{2} = 3(3^n - 1) = 3^{n+1} - 3$$

3. 最終的な答え

$3^{n+1} - 3$