数学的帰納法を用いて、次の等式を証明する問題です。 $1 + 5 + 9 + \dots + (4n - 3) = n(2n - 1)$

1. 問題の内容

数学的帰納法を用いて、次の等式を証明する問題です。

$1 + 5 + 9 + \dots + (4n - 3) = n(2n - 1)$

2. 解き方の手順

数学的帰納法の手順に従って証明を行います。

(1) n = 1 のとき

左辺は $1$

右辺は $1(2 \cdot 1 - 1) = 1$

よって、n = 1 のとき、等式は成立します。

(2) n = k のとき、等式が成立すると仮定する

すなわち、

$1 + 5 + 9 + \dots + (4k - 3) = k(2k - 1)$

が成立すると仮定します。

(3) n = k + 1 のとき、等式が成立することを示す

n = k + 1 のとき、示すべき等式は

$1 + 5 + 9 + \dots + (4k - 3) + (4(k + 1) - 3) = (k + 1)(2(k + 1) - 1)$

です。

左辺にn = k の仮定を適用すると、

$1 + 5 + 9 + \dots + (4k - 3) + (4(k + 1) - 3) = k(2k - 1) + (4(k + 1) - 3)$

$= k(2k - 1) + (4k + 4 - 3)$

$= 2k^2 - k + 4k + 1$

$= 2k^2 + 3k + 1$

右辺は、

$(k + 1)(2(k + 1) - 1) = (k + 1)(2k + 2 - 1)$

$= (k + 1)(2k + 1)$

$= 2k^2 + k + 2k + 1$

$= 2k^2 + 3k + 1$

したがって、左辺 = 右辺となり、n = k + 1 のときも等式は成立します。

(1), (2), (3) より、数学的帰納法によって、すべての自然数 n に対して等式

$1 + 5 + 9 + \dots + (4n - 3) = n(2n - 1)$ が成立します。

3. 最終的な答え

数学的帰納法により、$1 + 5 + 9 + \dots + (4n - 3) = n(2n - 1)$ は証明されました。