$x = \frac{\sqrt{5} + \sqrt{2}}{2}$ , $y = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{2}}{2}$ のとき、以下の値を求めなさい。 (1) $x + y$ (2) $x - y$ (3) $x^2 - y^2$

1. 問題の内容

$x = \frac{\sqrt{5} + \sqrt{2}}{2}$ , $y = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{2}}{2}$ のとき、以下の値を求めなさい。

(1) $x + y$

(2) $x - y$

(3) $x^2 - y^2$

2. 解き方の手順

(1) $x + y$ を計算します。

$x + y = \frac{\sqrt{5} + \sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{5} - \sqrt{2}}{2}$

$x + y = \frac{\sqrt{5} + \sqrt{2} + \sqrt{5} - \sqrt{2}}{2}$

$x + y = \frac{2\sqrt{5}}{2}$

$x + y = \sqrt{5}$

(2) $x - y$ を計算します。

$x - y = \frac{\sqrt{5} + \sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{5} - \sqrt{2}}{2}$

$x - y = \frac{\sqrt{5} + \sqrt{2} - (\sqrt{5} - \sqrt{2})}{2}$

$x - y = \frac{\sqrt{5} + \sqrt{2} - \sqrt{5} + \sqrt{2}}{2}$

$x - y = \frac{2\sqrt{2}}{2}$

$x - y = \sqrt{2}$

(3) $x^2 - y^2$ を計算します。$x^2 - y^2 = (x+y)(x-y)$を利用します。

$x^2 - y^2 = (x + y)(x - y)$

$x^2 - y^2 = (\sqrt{5})(\sqrt{2})$

$x^2 - y^2 = \sqrt{10}$

3. 最終的な答え

(1) $x + y = \sqrt{5}$

(2) $x - y = \sqrt{2}$

(3) $x^2 - y^2 = \sqrt{10}$