2次関数 $y = -x^2 + 3x - 4$ のグラフの頂点を求め、どのグラフになるかを選択する問題です。また、x軸との共有点の有無を判定します。

1. 問題の内容

2次関数 $y = -x^2 + 3x - 4$ のグラフの頂点を求め、どのグラフになるかを選択する問題です。また、x軸との共有点の有無を判定します。

2. 解き方の手順

まず、2次関数を平方完成して頂点の座標を求めます。

$y = -x^2 + 3x - 4$

$y = -(x^2 - 3x) - 4$

$y = -\left(x^2 - 3x + \left(\frac{3}{2}\right)^2\right) + \left(\frac{3}{2}\right)^2 - 4$

$y = -\left(x - \frac{3}{2}\right)^2 + \frac{9}{4} - \frac{16}{4}$

$y = -\left(x - \frac{3}{2}\right)^2 - \frac{7}{4}$

よって、頂点の座標は $\left(\frac{3}{2}, -\frac{7}{4}\right)$ です。

$x^2$ の係数が負なので、グラフは上に凸です。

頂点のy座標が負なので、グラフはx軸より下にあります。

したがって、x軸との共有点はありません。

グラフの概形は、上に凸で頂点が第4象限にあることから、④のグラフが該当します。

3. 最終的な答え

頂点は $\left(\frac{3}{2}, -\frac{7}{4}\right)$ で、グラフは④のようになります。