2つの二次関数 $y=(x-\text{ア})^2 + \text{イ}$ と $y=2(x-4)^2+7$ があります。 $y=(x-\text{ア})^2 + \text{イ}$ のグラフをx軸方向に3、y軸方向に4だけ平行移動させると、$y=2(x-4)^2+7$ のグラフに重なります。このとき、ア と イ の値を求めなさい。

1. 問題の内容

2つの二次関数 $y=(x-\text{ア})^2 + \text{イ}$ と $y=2(x-4)^2+7$ があります。

$y=(x-\text{ア})^2 + \text{イ}$ のグラフをx軸方向に3、y軸方向に4だけ平行移動させると、$y=2(x-4)^2+7$ のグラフに重なります。このとき、ア と イ の値を求めなさい。

2. 解き方の手順

$y=(x-\text{ア})^2 + \text{イ}$ のグラフをx軸方向に3、y軸方向に4だけ平行移動させたグラフの式は、

$y - 4 = (x - 3 - \text{ア})^2 + \text{イ}$

となります。これを整理すると、

$y = (x - (3 + \text{ア}))^2 + \text{イ} + 4$

このグラフが、$y=2(x-4)^2+7$ と一致するので、

$y = (x - (3 + \text{ア}))^2 + \text{イ} + 4 = 2(x-4)^2+7$

となるはずです。

しかし、$x^2$の係数が一致しないため、単純な平行移動では一致しません。

問題文を再確認すると、

「ある2次関数のグラフを、次のようにそれぞれ平行移動させると、次の問いにあるようなグラフに重ね合わせることができます」

とあります。$y=(x-a)^2+b$ のグラフを平行移動させると、

$y=2(x-4)^2+7$ と一致する、と解釈します。

$y=(x-\text{ア})^2 + \text{イ}$ のグラフに $y=2(x-4)^2+7$ になるように、拡大縮小と平行移動を施す、という解釈にします。

まず、$y=(x-\text{ア})^2 + \text{イ}$ のグラフを、y方向に2倍に拡大します。

$y = 2(x - \text{ア})^2 + 2\text{イ}$

このグラフをx軸方向に3、y軸方向に4だけ平行移動させると、

$y - 4 = 2(x - 3 - \text{ア})^2 + 2\text{イ}$

となります。これを整理すると、

$y = 2(x - (3 + \text{ア}))^2 + 2\text{イ} + 4$

このグラフが、$y=2(x-4)^2+7$ と一致するので、

$2(x - (3 + \text{ア}))^2 + 2\text{イ} + 4 = 2(x-4)^2+7$

となるはずです。

したがって、

$3 + \text{ア} = 4$

$2\text{イ} + 4 = 7$

これらを解くと、

$\text{ア} = 4 - 3 = 1$

$2\text{イ} = 7 - 4 = 3$

$\text{イ} = \frac{3}{2}$

3. 最終的な答え

ア = 1

イ = 3/2