$x$ についての方程式 $16^{x+1} - 2 \times 4^{x+3} - 4^x + 8 = 0$ を解きます。

## 問題の回答

問題の画像から、7つの数式（方程式または不等式）を解く問題であるとわかります。ここでは、そのうちのいくつかについて解答します。

### (1) $16^{x+1} - 2 \times 4^{x+3} - 4^x + 8 = 0$

1. 問題の内容

$x$ についての方程式 $16^{x+1} - 2 \times 4^{x+3} - 4^x + 8 = 0$ を解きます。

2. 解き方の手順

$4^x = t$ とおくと、$16^{x+1} = 16 \times 16^x = 16 \times (4^2)^x = 16 \times (4^x)^2 = 16t^2$, $4^{x+3} = 4^x \times 4^3 = 64t$ となります。

与式は、

$16t^2 - 2 \times 64t - t + 8 = 0$

$16t^2 - 128t - t + 8 = 0$

$16t^2 - 129t + 8 = 0$

$(16t - 1)(t - 8) = 0$

$t = \frac{1}{16}$ または $t = 8$

$4^x = \frac{1}{16} = 4^{-2}$ より $x = -2$

$4^x = 8 = 2^3 = (2^2)^{3/2} = 4^{3/2}$ より $x = \frac{3}{2}$

3. 最終的な答え

$x = -2, \frac{3}{2}$

### (2) $3^x - 3^{2-x} = 8$

1. 問題の内容

$x$ についての方程式 $3^x - 3^{2-x} = 8$ を解きます。

2. 解き方の手順

$3^x = t$ とおくと、$3^{2-x} = \frac{3^2}{3^x} = \frac{9}{t}$ となります。

与式は、

$t - \frac{9}{t} = 8$

$t^2 - 9 = 8t$

$t^2 - 8t - 9 = 0$

$(t - 9)(t + 1) = 0$

$t = 9$ または $t = -1$

$3^x = 9 = 3^2$ より $x = 2$

$3^x = -1$ は実数解を持たない。

3. 最終的な答え

$x = 2$

### (3) $(\frac{1}{3})^{2x} - \frac{4}{3} (\frac{1}{3})^x + \frac{1}{3} > 0$

1. 問題の内容

$x$ についての不等式 $(\frac{1}{3})^{2x} - \frac{4}{3} (\frac{1}{3})^x + \frac{1}{3} > 0$ を解きます。

2. 解き方の手順

$(\frac{1}{3})^x = t$ とおくと、$t > 0$ であり、不等式は

$t^2 - \frac{4}{3} t + \frac{1}{3} > 0$

$3t^2 - 4t + 1 > 0$

$(3t - 1)(t - 1) > 0$

$t < \frac{1}{3}$ または $t > 1$

$(\frac{1}{3})^x < \frac{1}{3} = (\frac{1}{3})^1$ より $x > 1$

$(\frac{1}{3})^x > 1 = (\frac{1}{3})^0$ より $x < 0$

3. 最終的な答え

$x < 0, x > 1$

### (5) $(\log_2 x)^2 - \log_2 8x^2 = 0$

1. 問題の内容

$x$ についての方程式 $(\log_2 x)^2 - \log_2 8x^2 = 0$ を解きます。

2. 解き方の手順

$\log_2 8x^2 = \log_2 8 + \log_2 x^2 = 3 + 2 \log_2 x$

$(\log_2 x)^2 - (3 + 2 \log_2 x) = 0$

$(\log_2 x)^2 - 2 \log_2 x - 3 = 0$

$\log_2 x = t$ とおくと、$t^2 - 2t - 3 = 0$

$(t - 3)(t + 1) = 0$

$t = 3$ または $t = -1$

$\log_2 x = 3$ より $x = 2^3 = 8$

$\log_2 x = -1$ より $x = 2^{-1} = \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

$x = 8, \frac{1}{2}$